4.5.1函数的零点与方程的解[A基础达标]1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)3.42.6－3.7则函数f(x)一定存在零点的区间是()A．(－∞，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，＋∞)解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A.，0B．－2，0C.D．0解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是()A．f(3)<0B．函数f(x)在定义域内是增函数C．f(3)>0D．函数f(x)在定义域内是减函数解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．4．函数f(x)＝x3－的零点个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析：选B.作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.5．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3解析：选A.f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：37．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．解析：依题意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a，易知a＝1，所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝.答案：8．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，所以函数只有一个零点2，符合题意；当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.综上a＝或a＝0.答案：9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x4－x2；(2)f(x)＝4x＋5；(3)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(2)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.10．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．(1)求c的值；(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．解：(1)因为1为函数f(x)的零点，所以f(1)＝0，即c＝1.(2)证明：设0≤x10，x2＋1>0，x1＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数．(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，所以ex＝2，即x＝ln2，所以函数g(x)的零点是ln2.[B能力提升]11．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为()A．(0，2)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选C.令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为(2，3)．12．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3013．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？解：方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解，理由如下：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续不断的曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．14．已知函数f(x)＝...
