课时跟踪检测（四十三）二倍角的正弦、余弦、正切公式A级——学考水平达标练1．已知sinα＝，则cos4α－sin4α的值为()A．－B．－C．D．解析：选Dcos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.2．化简等于()A．B．－C．－1D．1解析：选B原式＝＝－＝－＝－.3．已知sinθ＝，sinθcosθ＜0，则sin2θ＝()A．－B．－C．－D．解析：选A∵sinθ＝＞0，sinθcosθ＜0，∴cosθ＜0.∴cosθ＝－＝－.∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－.4．已知tan＝2，则cos2α＝()A．－B．C．－D．解析：选D由tan＝＝2，解得tanα＝，则cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝.故选D.5．计算：＝()A．B．1C．D．2解析：选B原式＝＝＝＝1.6．已知sin2θ＝，则cos2＝________.解析：cos2＝＝＝，∵sin2θ＝，∴cos2＝＝.答案：7．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________.解析：＋＝2⇒＝2⇒sinθ＋cosθ＝2sinθcosθ⇒1＋sin2θ＝2sin22θ，因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，所以sin2θ＝－，所以sinθ＋cosθ＜0，所以θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ＝，所以sin＝sin2θ·cos＋sin·cos2θ＝×＋×＝.答案：8．若＝2019，则＋tan2α＝________.解析：＋tan2α＝＋＝＝＝＝＝2019.答案：20199．求值：.解：∵sin50°(1＋tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝1，cos80°＝sin10°＝sin210°，∴＝＝.10．(1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.解：(1)∵≤α<，∴≤α＋<.∵cos>0，∴<α＋<.∴sin＝－＝－＝－.∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.(2)∵sin2α＝－cos＝－，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－.∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.B级——高考水平高分练1．已知tanx＝，则sin2＝()A.B.C.D.解析：选D因为tanx＝，所以sin2＝＝＝＋＝＋＝＋＝.2．设sin＝，则sin＝()A．－B．－C．D．解析：选B因为sin＝，所以sin＝sin＝－cos＝－＝－.3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.4．已知函数f(x)＝tan.(1)求f的值；(2)设α∈，若f＝2，求cos和cos2α的值．解：(1)f＝tan＝＝＝－2－.(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②联立①②，解得cos2α＝.因为α∈，所以cosα＝－，sinα＝－，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝－×＋×＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.5.如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．解：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30m.又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，∴AD＝CD＝10m.∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝10sin4θ(m)，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，∴10sin4θ＝30sin2θ，即20sin2θcos2θ＝30sin2θ，∴cos2θ＝，又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，∴AE＝30sin＝15(m)，∴θ＝，建筑物AE的高为15m.
