课时达标第10讲[解密考纲]数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．一、选择题1．函数y＝的图象大致为(D)解析由题意知x≠1，∵00，lnx<0.∴y<0，图象在x轴下方，排除B项，C项；当x>1时，2x>0，lnx>0，∴y>0，图象在x轴上方，当x→＋∞时，y＝→＋∞，故选D．2．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(C)A．－B．－C．－1D．－2解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C．3．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a＝(A)A．3B．2C．1D．－1解析∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除D项，C项，又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知选A．4．(2018·四川成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，则f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．(2018·河南统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是(C)A．x＝－1B．x＝－C．x＝D．x＝1解析∵f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，而f(2x＋1)＝f，1∴f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到，即f(2x)的图象的对称轴方程是x＝.6．(2018·广东名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为(D)解析易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A项、B项．当x>0时，f(x)·g(x)＝(4－x2)log2x有两个零点1,2，且04或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解析(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于点(0,1)的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解析(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t>0时，H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．3
