5.7三角函数的应用一、选择题1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A.B．50C.D．100解析：T＝＝.答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x12y100009500则此楼群在第3季度的平均单价大约是()A．10000元B．9500元C．9000元D．8500元解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，即所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9500，所以y＝9000.答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为()A．2sB．1sC.sD.s解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为s.答案：C二、填空题5．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．答案：806．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.所以T＝1，则ω＝＝2π.因为当t＝时，函数取得最大值，所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.答案：7．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________.解析：由题意得解得A＝2，B＝6，周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.所以f(x)＝2sin＋6.又当x＝3时，y＝8，所以8＝2sin＋6，所以sin＝1，结合|φ|<可得φ＝－，所以f(x)＝2sin＋6.答案：f(x)＝2sin＋6三、解答题8．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移．解析：(1)设振幅为A，则2A＝20cm，所以A＝10cm.设周期为T，则＝0.5s，所以T＝1s，所以f＝1Hz.(2)振子在1s内通过的距离为4A，故在5s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)．5s末物体处在B点，所以它的位移为0cm.9．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．[尖子生题库]10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数P(t)的周期为min.(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0P(t)/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80mmHg相比较，此人血压偏高．
