2017年高考数学基础突破——集合与函数5．二次函数与幂函数【知识梳理】1．二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增；在x∈上单调递增在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称3.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【基础考点突破】考点1．二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标是(－2，－1)，且图像经过点(1，0)，则函数的解析式为f(x)＝______________．【归纳总结】求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：变式训练1．（1）已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则二次函数的解析式为f(x)＝______________．（2）(2016·山西太原联考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式a·f(－2x)>0的解集是________.考点2．二次函数的图像与性质命题点1．轴定区间定求最值【例2】已知二次函数f(x)＝x2－4x＋5，若x∈[0，3]，则函数f(x)的最大值为________．命题点2．轴动区间定求最值【例3】求函数f(x)＝－x(x－a)在区间[－1，1]上的最大值．【归纳总结】解决此类问题要注意两个问题：一是分类标准的确定，将函数图像由左向右平移，在平移的过程中观察对称轴与所给区间的变化关系，以此作为分类标准；二是最后结论通常是用分段函数表示．命题点3．轴定区间动求最值【例4】设函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．【归纳总结】由于二次函数图像的对称轴确定，所以不定区间的参量a应该以是否含有对称轴为标准进行分类讨论．命题点4．二次函数的单调性【例5】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋3．(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－2，5]上是单调函数；(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．命题点5．二次函数中的恒成立问题【例6】已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．【归纳总结】(1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．变式训练2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．考点3．幂函数的图象和性质【例7】(1)已知幂函数f(x)＝m·xα的图象过点，则m＋α等于()A.B．1C.D．2(2)若(2m－1)>(m+1)，则实数m的取值范围是()A.B.C．(－1,2)D.【归纳总结】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．变式训练3.(1)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.(2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．【基础练习】1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是()2．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是()A．a≥8B...
