课时分层作业(十二)等比数列的前n项和(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于()A.B.C.D.D[Sn＝＝.]2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)C[∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a1a5＝1，S3＝7，则S5等于()A.B.C.D.B[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a1a5＝1，∴a1·a1q4＝1，又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1，∴6q2－q－1＝0，解得q＝，∴a1＝＝4，S5＝＝.]4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7等于()A.B.C.D.A[＝＝＝q＝－，由a1＋a2＋a3＝6，且q＝－，得a1＝8，可得a2＝a1q＝8×＝－4，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝－a1－a2＝－8－(－4)＝.]5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于()A.或5B.或5C.D.C[设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.]二、填空题6．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.32[设{an}的首项为a1，公比为q，则解得所以a8＝×27＝25＝32.]7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，1又26＝64,27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解](1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.[解](1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．[能力提升练]1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于()A．(2n－1)2B.(2n－1)2C．4n－1D.(4n－1)D[a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．]2．如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为()2A.B.πC．2πD．3πB[根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.]3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．192[设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.]5．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意有即解得或故或(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.34
