§1参数方程的概念课后篇巩固探究A组1.参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为()A.(1,0),(0,-2)B.(0,1),(-1,0)C.(0,-1),(1,0)D.(0,3),(-3,0)解析:当x=t-1=0时,t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).答案:D2.下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,-7)B.C.D.(1,0)解析:由题意得x=sinθ∈[-1,1],y=cos2θ∈[-1,1],故排除A.由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.答案:C3.若t>0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是()A.B.C.D.解析:由(t>0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.答案:B14.已知点O为原点,当θ=-时,参数方程(θ为参数)上的点为A,则直线OA的倾斜角为()A.B.C.D.解析:当θ=-时,参数方程(θ为参数)上的点A的坐标为,kOA=tanα==-,0≤α<π,故直线OA的倾斜角α=.答案:C5.在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是()A.(1,)B.(2,)C.D.解析:由题意知x=sin2θ∈[-1,1],y=sinθ+cosθ=sin∈[-],故排除A,B,C.令y=sinθ+cosθ=,两边平方得1+2sinθcosθ=,2故x=sin2θ=-.答案:D6.若点(-3,-3)在参数方程(θ为参数)的曲线上,则θ=.解析:将点(-3,-3)的坐标代入参数方程(θ为参数),得解得θ=+2kπ,k∈Z.答案:+2kπ,k∈Z7.已知曲线C的参数方程为(t为参数),判断点A(3,0),B(-2,2)是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(3,0)的坐标代入得解得t=2,所以点A(3,0)在曲线C上,对应参数t=2.将点B(-2,2)的坐标代入得此方程组无解,所以点B(-2,2)不在曲线C上.38.已知曲线C的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π),判断点A(2,0),B是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(2,0)的坐标代入因为0≤θ<2π,所以θ=0,所以点A(2,0)在曲线C上,对应θ=0.将点B的坐标代入得因为0≤θ<2π,所以θ=,所以点B在曲线C上,对应θ=.9.经过原点作圆x2-2ax+y2=0(a>0)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数,已知圆的圆心是O'(a,0),连接O'M,则O'M⊥OQ,过点M作MM'⊥OO',则|OM|=acosθ.所以θ为参数,-<θ<.这就是所求轨迹的参数方程.10.导学号73144022求椭圆=1中斜率是m的平行弦的中点的轨迹的参数方程.4解如图,设P1P2是斜率为m的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是y=mx+k,这里k是参数,把上式代入椭圆方程,得b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,整理得,(a2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0,①这个方程的两个根就是P1和P2的横坐标x1和x2,设P1P2的中点是点P'(x',y'),则x'=. 由①得x1+x2=,∴x'=-.② 点P'在P1P2上,∴y'=mx'+k,即y'=.③方程②③是用参数k表示所求轨迹上任意一点P'的坐标x'和y',把(x',y')换成(x,y),就得到所求轨迹的参数方程:(k为参数).B组1.参数方程(θ为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析: ∴x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4.故表示的曲线是圆.答案:B52.在参数方程(θ为参数)所表示的曲线上的点是()A.B.C.D.答案:D3.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是()A.(t为参数,t≥0)B.(t为参数,t≥0)C.(t为参数,t≥0)D.(t为参数,t≥0)解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则(t为参数,t≥0).答案:B4.导学号73144023若点E(x,y)在曲线(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为.解析:x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+10sin(θ+α),其中tanα=,α为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10.6答案:30+10,30-105.设飞机以匀速v=150m/s做水平飞行,若在飞行高度h=588m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标?分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图,A为投弹点,坐标为(0,588),B为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t,炸弹初速度v0=150m/s,用物理学知...
