2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.知识点一b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系b2－4ac(Δ)根的情况b2－4ac>0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2－4ac<0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根知识点二一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：(1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)|x1－x2|＝＝；(4)＋＝；(5)＋＝＝.[基础自测]1．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是()A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根解析：Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.答案：C2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为()A．4B．－4C．3D．－3解析：由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.答案：A3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为()A．7或－1B．1或－5C．－1或－5D．不能确定解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝，解得x1＝－1，x2＝7.故选A.答案：A4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝________.解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以＋＝＝－2.答案：－2题型一方程根个数的判断及应用[经典例题]例1若关于x的不等式x－<1的解集为x<1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况．【解析】解不解式x－<1，得x<1＋，而不等式x－<1的解集为x<1，所以1＋＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－4<0，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．先求出a再判断根的个数(1)解一元一次不等式，利用解集求a.(2)Δ＝a2－4，利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0的情况讨论根的情况.方法归纳对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．跟踪训练1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根．解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝.题型二直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]例2已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：(1)x＋x；(2)|x1－x2|.【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－2.(1)由上有x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2－2×(－2)＝.(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×(－2)＝，所以|x1－x2|＝＝.教材反思在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．跟踪训练2已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：(1)x＋x；(2)＋.解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)＋＝＝＝3.题型三应用根与系数的关系求字母系数的值或范围[经典例题]例3已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.【解析】Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥.(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝....
