课时素养评价三十二对数的运算(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知x,y为正实数,则()A.2lnx+lny=2lnx+2lnyB.2ln(x+y)=2lnx·2lnyC.2lnx·lny=(2lnx)lnyD.2ln(xy)=2lnx·2lny【解析】选C、D.根据指数与对数的运算性质可得2lnx·lny=(2lnx)lny,2ln(xy)=2lnx+lny=2lnx·2lny,可知C,D正确,而A,B都不正确.2.式子-log32×log427+20180等于()A.0B.C.-1D.【解析】选A.-log32×log427+20180=-×+1=-×+1=-+1=0.3.若lgx=m,lgy=n,则lg-lg的值为()A.m-2n-2B.m-2n-1C.m-2n+1D.m-2n+2【解析】选D.因为lgx=m,lgy=n,所以lg-lg=lgx-2lgy+2=m-2n+2.4.若5a=2b=1且abc≠0,则+=()A.2B.1C.3D.4【解析】选A.因为5a=2b=1,所以取常用对数得:alg5=blg2=,所以+=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知a2=(a>0),则loa=________.【解析】由a2=(a>0)得a=,所以lo=lo=2.答案:26.已知x>0,y>0,若2x·8y=16,则x+3y=________,则+log927y=________.【解析】根据题意,若2x·8y=16,则2x+3y=24,则x+3y=4,则+log927y=+=(x+3y)=2.答案:42三、解答题(共26分)7.(12分)求下列各式的值:(1)log3+lg25+lg4++(-9.8)0(2)lg25+lg8+lg5×lg20+(lg2)2.【解析】(1)log3+lg25+lg4++(-9.8)0=+2++1=5.(2)lg25+lg8+lg5×lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2lg5+lg5+(lg2)2=2+lg2(lg2+lg5)+lg5=2+lg2+lg5=3.8.(14分)2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长6.7%,那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg2≈0.3010,lg1.067≈0.0282,精确到1年).【解析】设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.经过1年,国民生产总值为a(1+6.7%),经过2年,国民生产总值为a(1+6.7%)2,…经过x年,国民生产总值为a(1+6.7%)x=2a,所以1.067x=2,两边取常用对数,得x·lg1.067=lg2.所以x=≈≈11.故约经过11年,国民生产总值是2018年的2倍.(15分钟·30分)1.(4分)已知实数a,b满足ab=ba,且logab=2,则ab=()A.B.2C.4D.8【解析】选D.因为实数a,b满足logab=2,故a2=b,又由ab=ba得=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8.2.(4分)某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)()A.6B.7C.8D.9【解析】选C.设需要过滤n次,则0.02×≤0.001,即≤,所以nlg≤lg,即n≥=≈7.4,又n∈N,所以n≥8,所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.【加练·固】某学校2016年投入130万元用于改造教学硬件设施,为进一步改善教学设施,该校决定每年投入的资金比上一年增长12%,则该校某年投入的资金开始超过300万的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg3≈0.48)()A.2022B.2023C.2024D.2025【解析】选C.假设该校某年投入的资金开始超过300万的年份是x,则130(1+12%>300,所以x-2016>=7.4,x>2023.4,该校某年投入的资金开始超过300万的年份是2024.3.(4分)(lg2)2+lg5·lg20++0.02×=________.【解析】(lg2)2+lg5·lg20+()0+0.02×=(lg2)2+lg5·(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3×9=(lg2+lg5)2+1+×9=1+1+100=102.答案:102【加练·固】+log2(47×25)-πln=________.【解析】+log2(47×25)-πln=4-π+log2219+π=4+19=23.答案:234.(4分)已知函数f(x)=则f=________.【解析】因为2+log23<4,所以f=f==·=×=.答案:5.(14分)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.【解析】令2x=3y=5z=k(k>0),所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,所以k=30,所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.1.已知函数f(n)=lo(n+2)(n为正整数),若存在正整数k满足f(1)·f(2)·…·f(n)=k,那么我们将k叫做关于n的“对整数”,当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为f(n)=lo(n+2),所以k=f(1)·f(2)·…·f(n)=··…·=log2(n+2),所以n+2=2k,n=2k-2,又n∈,所以k∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10}满足要求,所以当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为9个.2.如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根是α,β,求αβ的值.【解析】方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0可以看成关于lgx的二次方程.因为α,β是原方程的两根,所以lgα,lgβ可以看成关于lgx的二次方程的两根.由根与系数的关系,得lgα+lgβ=-(lg7+lg5)=lg,所以lgαβ=lgα+lgβ=lg,所以αβ=.【加练·固】已知方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,则·等于()A.B.36C.-6D.6【解析】选B.方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,则α+β=-log26,则·===62=36.
