课时跟踪检测（四十）正切函数的性质与图象A级——学考水平达标练1．函数f(x)＝2x－tanx在上的图象大致为()解析：选D∵f(x)为奇函数，故排除B、C，当x→时，f(x)→－∞，选D.2．函数y＝－2＋tan的定义域是()A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：选A由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.3．下列函数中，以π为周期且在内是增函数的为()A．y＝tanB．y＝sinC．y＝cos2xD．y＝sin解析：选A由π为周期，可排除D项；A项，易知y＝tan在上单调递增，而是的一个子区间，所以y＝tan在上单调递增；C选项中的函数在上单调递减，故排除C；B项，由x∈得＜2x＋＜，所以y＝sin在上不单调，排除B，故选A.4．函数f(x)＝lg(tanx＋)()A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A∵＞|tanx|≥－tanx，∴f(x)的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝lg(－tanx＋)＋lg(tanx＋)＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.5．下列不等式中，成立的是()A．tan＞tanB．tan＜tanC．tan＜tanD．tan＞tan解析：选Dtan＝tan＜tan；tan＝tan＜tan；tan＝tan，tan＝tan，∵tan＞tan，∴tan＞tan；tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan，又tan＞tan，所以tan＜tan.6．函数y＝的最小正周期为________．解析：y＝＝其图象如图所示：由图象知y＝的最小正周期为π.答案：π7．函数y＝tan的值域是________．解析：∵－1≤cosx≤1，且函数y＝tanx在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx≤tan1.即－tan1≤tanx≤tan1.答案：[－tan1，tan1]8．若tanx＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是________．解析：∵tanx＞tan＝tan且x是第三象限角，∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z)．答案：(k∈Z)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝.解：(1)f(x)的定义域为，关于原点对称．因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以函数f(x)＝sinx＋tanx是奇函数．(2)由题意，得tanx≠1，且x≠kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称．所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.又0＜φ＜，所以φ＝.故f(x)＝tan.(2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，即－＋＜x＜＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．B级——高考水平高分练1．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象大致是()解析：选D令x＝，则y＝－2，排除A、B、C，故选D.2．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tanx的图象不相交，由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝或k＝－.答案：或－3．画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．解：由函数y＝|tanx|得y＝根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数．函数y＝|tanx|的单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.4．设函数f(x)＝tan.(1)求函数f(x)的最小正周期，图象的对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．解：(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的图象的对称中心是(k∈Z)．(2)令－＝0，得x＝；令－＝，得x＝；令－＝－，得x＝－.∴函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图，如图所示．5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．解：∵y＝tanθ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.又x∈，∴－ax∈，∴－ax∈，∴解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
