第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin2cos3tan4的值()．A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在解析∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0.答案A2．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．()A．一B．二C．三D．四解析因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．答案C3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()．A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．答案B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案A5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝()．A．－8B．8C．－4D．4解析根据题意sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.答案A6．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()．A.B.C.D.解析设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.答案A二、填空题7．若β的终边所在直线经过点P，则sinβ＝________，tanβ＝________.解析因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．所以sinβ＝或－，tanβ＝－1.答案或－－18．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第______象限．解析∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0.∴角α在第二象限．答案二9．设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．答案210．函数y＝的定义域为________．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．答案(k∈Z)三、解答题11．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.12．(1)确定的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(00，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.若α＝，则sinα＋cosα＝1.由已知00.13．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则解得∴圆心角α＝＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．14．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.解(1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，又sin∠COA＝，cos∠COA＝，∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝·－·＝.
