课时作业57定点、定值、探究性问题第一次作业基础巩固练1．已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值．解：(1)由题意得|PM|＋|PN|＝4，∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴b＝＝，∴椭圆的方程为＋＝1.即点P的轨迹C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知－20，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，弦MN的长为4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当k＝时，直线l：y＝(x＋)，即x＝2y－，联立方程，得即y2－4py＋p2＝0.∴y1＋y2＝4p，y1y2＝p2，于是得|MN|＝|y1－y2|＝×＝2|p|＝4，因为p>0，所以p＝2，即抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)证明：设点M(4t2,4t)，N(4t，4t1)，Q(4t，4t2)，易得直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，则直线MN的斜率是kMN＝＝，从而直线MN的方程是y＝(x－4t2)＋4t，即x－(t＋t1)y＋4tt1＝0.同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0，NQ的方程是x－(t1＋t2)y＋4t1t2＝0.又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1，即t＝，点B(1，－1)在直线MQ上，从而有1－(t＋t2)×(－1)＋4tt2＝0，即1－(＋t2)×(－1)＋4××t2＝0，化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0.所以直线NQ过定点(1，－4)．3.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)Q是椭圆C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，∴＋＝1，解得t＝，即P(c，)，由AB∥OP得＝，即b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，①又AB＝2，∴a2＋b2＝12，②由①②得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在D(m,0)使得直线QA与QD的斜率乘积恒为定值，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则＋＝1，③设kQA×kQD＝k(常数)， A(－2，0)，∴×＝k，④由③得y＝4(1－)，⑤将⑤代入④，得k＝，∴∴m＝2，k＝－，∴存在点D(2，0)，使得kQA×kQD＝－.4．(2019·重庆六校联考)已知定点Q(，0)，P为圆N：(x＋)2＋y2＝24上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M.(1)当P点在圆周上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且OA·OB＝0(O为坐标原点)，证明直线l与某个定圆相切，并求出定圆的方程．解：(1)连接MQ，依题意，可得圆N的圆心N(－，0)，半径为2，|MP|＝|MQ|，则|MN|＋|MQ|＝|MN|＋|MP|＝|NP|＝2>2＝|NQ|，根据椭圆的定义，得点M的轨迹是以N，Q为焦点，长轴的长为2的椭圆，即2a＝2，2c＝2，∴b＝＝.∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程，得消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，得m2<6k2＋3.①由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝. OA·OB＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，整理得m2＝2k2＋2，满足①式，∴＝，即原点到直线l的距离为，∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝t(－
