2.1.5平面直角坐标系中的距离公式[学业水平训练]已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8B．0或－8C．0或6D．0或－6解析：选A.因为|AB|＝5.得＝5.整理得(4－b)2＝16，所以4－b＝±4，所以b＝0或b＝8.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.B．2－C.－1D.＋1解析：选C.由已知得＝1，解得a＝－1或a＝－－1，因为a＞0，所以a＝－1.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A.B．2C.D．2解析：选B.|OP|的最小值即O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为()A．[0，10]B．(0，10)C．[，]D．(－∞，0)∪[10，＋∞)解析：选A.点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则≤3.解得0≤a≤10.两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，]解析：选C.设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d＝0，但两直线平行，故d>0.当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ|＝＝5，所以04.解：(1)由点到直线3x－4y＝2的距离公式得，＝3，即|3a－26|＝15，∴3a－26＝±15，∴a＝或.(2)∵d>4，∴>4，即|3a－26|>20，∴3a－26>20或3a－26<－20，∴a>或a<2，即a的取值范围是(－∞，2)∪(，＋∞)．证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．[高考水平训练]已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是()A．(－1，0)B．(1，0)C．(，0)D．(0，)解析：选B.A(－3，8)关于x轴对称的点A′(－3，－8)，A′B与x轴的交点，就是|MA|＋|MB|最短的M点，直线A′B的方程为＝，当y＝0时，得x＝1，即此时M的坐标为(1，0)．2．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．解析：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.答案：3．已知点A(1，－1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P(，)，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为(，)．4．已知正方形ABCD的中心M(－1，0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．解：因为AB∥CD，所以可设AB边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0.又因为AD⊥CD，BC⊥CD，所以可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0.因为中心M(－1，0)到CD的距离为d＝＝，所以点M(－1，0)到AD，AB，BC的距离均为.由＝，得|n－3|＝6，所以n＝9或n＝－3，由＝，得|m－1|＝6，所以m＝7或－5(舍去)．所以其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
