课时作业12椭圆几何性质的应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．线段|AB|＝4，N为AB的中点，动点P满足条件|PA|＋|PB|＝6，当P点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M，最小值m分别是()A．M＝4，m＝B．M＝3，m＝C．M＝5，m＝D．M＝3，m＝解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P的轨迹是以A、B为焦点，N为中心的椭圆．则M＝|PN|max＝a＝3，m＝|PN|min＝b＝＝＝.答案：B2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A．[4－2，4＋2]B．[4－，4＋]C．[4－2，4＋2]D．[4－，4＋]解析：由8x2＋3y2＝24，得＋＝1.∴－≤m≤.∴4－2≤2m＋4≤4＋2.答案：A3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.解析：由题意知，F1(－，0)，F2(，0)．设M(x0，y0)，由MF1·MF2＝0，可得x0＝±.故选B.答案：B4．若AB为过椭圆＋＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为()A．6B．12C．24D．48图1解析：如图1，S△ABF1＝S△AOF1＋S△BOF1＝2S△AOF1.又 OF1＝c＝3为定值，∴点A与(0,4)重合时，OF1边上的高最大，1此时S△AOF1的面积最大为×4×3＝6.∴S△ABF1的最大值为12.答案：B5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是()A．3B.C．2D.图2解析：设与直线x＋2y－＝0平行的直线为x＋2y＋m＝0与椭圆联立得，(－2y－m)2＋4y2－16＝0，即4y2＋4my＋4y2－16＋m2＝0得2y2＋my－4＋＝0.Δ＝m2－8(－4)＝0，即－m2＋32＝0，∴m＝±4.∴两直线间距离最大是当m＝4时，dmax＝＝.答案：D6．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.D．－图3解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)则＋y＝1①＋y＝1②①－②得＝－(y1＋y2)(y1－y2)∴＝－＝－. k1＝，k2＝，2∴k1＝－.∴k1·k2＝－.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组解得A(0，－2)，B(，)．∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.答案：8．若F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析： 椭圆C：＋＝1，∴c＝2.∴F1(－2,0)，F2(2,0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1，F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1，F2连线所成角中的最大角，∴在C上满足PF1⊥PF2的点有2个．答案：29．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．解析： 直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点∴>2∴m2＋n2<4即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx＋ny＝4与椭圆＋＝1也有两个交点．答案：2三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，(1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程．解：(1)联立方程组消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0(*)．若直线和椭圆有公共点，则Δ＝(2m)2－20(m2－1)≥0，即m2≤，解得－≤m≤.(2)设直线y＝x＋m与椭圆4x2＋y2＝1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，对方程(*)，由根与系数的关系，得|AB|＝＝＝.当m＝0时，线段|AB|取最大值，此时直线方程为y＝x.11．(15分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2＋9y2＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C经过点A(2，－3)．(1)求椭圆C的方程；(2)若PQ是椭圆C的所截线段，O是坐标原点，OP⊥OQ且P点的坐标为(，2)，求点Q的坐标．解：(1)由已知C1：＋＝1得焦点F1′(－，0)，F2′(，0)．又椭圆C与C1的焦点F1，F2，F1′，F2′是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点，∴F1，F2关于原点对称．3∴F1(0，－)，F2(0，)．故设C：＋＝1(a>b>0)， 椭圆C过点A(2，－3)，∴＋＝1且a2－b2＝5.解出a2＝15，b2＝10.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设Q(x0，y0)，则由OP⊥OQ得kOP·kOQ＝·＝－1，即y0＝－x0.又 ＋＝1，3x＋2(－x0)2＝30，∴x0＝±3，点Q...
