2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),4答案A2.方程y=√9-x2表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆答案D3.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10解析 圆C经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{y=8,x-y-1=0可得圆心为(9,8),故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.答案A4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.答案B5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.答案D6.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.解析 P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(√3)2=4=m2,∴m=±2.答案±27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案(x+1)2+(y-2)2=58.若圆的方程为(x+k2)2+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.解析 圆的方程为(x+k2)2+(y+1)2=1-34k2,∴r2=1-34k2>0,rmax=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).答案(0,-1)19.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有{(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得{a=4,b=1,r2=5,即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.10.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:(1)线段AB的垂直平分线l的方程;(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).(1) A(-1,2),B(3,4),∴直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12. 直线l垂直于直线AB,∴直线l的斜率kl=-1kAB=-2,∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2) A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.能力提升练1.方程(x-1)√x2+y2-3=0所表示的曲线是()A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆解析(x-1)√x2+y2-3=0可化为x-1=0或x2+y2=3,∴方程(x-1)√x2+y2-3=0表示一条直线和一个圆.答案D2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x+3y-1=0,3x-2y+5=0,解得{x=-1,y=1,即P(-1,1). 圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.答案B3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2√5,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x+23)2+(y-73)2=499解析由题意画出图形如图所示,过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=2√5,∴|CB|=√5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(√5)2,①把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②联立①②,解得a=2,b=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.故选B.4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.解析设C(2+√2...
