课时跟踪检测（十九）基本不等式层级一学业水平达标1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是________．解析：y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．答案：3－22．若2x＋y＝4，则4x＋2y的最小值为________．解析：4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝2＝8.当且仅当2x＝y＝2，即x＝1，y＝2时等号成立．答案：83．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：＝，因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则≤＝，即的最大值为，故a≥.答案：a≥4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库与车站的距离为x千米，则y1＝，y2＝k2x.∴2＝，8＝k2·10.∴k1＝20，k2＝.∴y＝＋x. ＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号．∴x＝5千米时，y取得最小值．答案：55．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．解析：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4.答案：46．若0
2，a2＋b2>2ab，所以四个数中最大的数应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又因为00，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为________．解析：因为a>0，b>0，由题知＋≥，即·(2a＋b)≥n，又·(2a＋b)＝4＋＋＋1＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时等号成立，故n≤9.故n的最大值为9.答案：98．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析： x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.证明：法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9.法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.10．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．解：(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝.则总面积S＝·a＋2a＝a＝＝1832－，即S＝1832－(x>0)．(2)由S＝1832－，得S≤1832－2＝1832－2×240＝1352.当且仅当＝，此时，x＝45.即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米．层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：由基本不等式性质，f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在4x＝，即x2＝时取得最小值，由于x>0，a>0，再根据已知可得＝32，故a＝36.答案：362．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为________．解析：由题中条件知，＝＝＝＋≥2，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立，故≥4··，即≥.答案：3．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．解析：因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．答案：44．已知x>1，则函数y＝x＋的值域为________．解析： x>1，∴x－1>0.∴y＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值16，∴函数y＝x＋的值域为[16，＋∞)．答案：[16，＋∞)5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值...
