2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24-y2=1B.x23-y2=1C.x22-y2=1D.x2-y22=1解析由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=√3,设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,4a2−1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为x22-y2=1.答案C2.(多选)当α∈(π4,3π4)时,方程x2sinα+y2cosα=1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析当α∈(π4,3π4)时,sinα∈(√22,1],cosα∈(-√22,√22),可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0).也可以是双曲线(sinα>0,cosα<0),也可能是两条直线(sinα=1,cosα=0).答案ACD3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23−y22=1C.x2-y24=1D.x22−y23=1解析由题意得{|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=2√5,解得{a2=1,b2=4,则该双曲线的方程为x2-y24=1.答案C4.已知双曲线x24−y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7解析设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|, ||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.答案A5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).答案A6.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.答案A7.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有正确结论的编号).①当d=0时,D为直线;②当d=1时,D为双曲线;③当d=2时,D与圆C交于两点;④当d=4时,D与圆C交于四点;⑤当d>4时,D不存在.解析①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;②当d=1时, ||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1, C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.答案①②⑤8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4√2,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,∴5c·5-c=-1,∴c=5.设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0), 双曲线过点(4√2,-3),∴32a2−9b2=1,又 c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216−y29=1.答案x216−y29=19.已知与双曲线x216−y29=1共焦点的双曲线过点P(-√52,-√6),求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x216−y29=1,则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2−y225-a2=1. 点P(-√52,-√6)在所求双曲线上,∴(-√52)2a2−(-√6)225-a2=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.当a2=1254时,a2>c2,不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.10.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2...
