高中数学 正、余弦定理的应用练习 新人教版必修5-新人教版高二必修5数学试题VIP免费

正、余弦定理的应用【考点1】几何问题1．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absinC．例1已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．【点拨】连接BD分割成三角形，利用余弦定理求出sinA．【解析】连接BD，则四边形面积S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC． A＋C＝180°，∴sinA＝sinC．∴S＝（AB·AD＋BC·CD）·sinA＝16sinA．由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC．又cosC＝－cosA，∴cosA＝－．∴A＝120°．∴四边形ABCD的面积S＝16sinA＝8．【答案】8．【小结】本题考查余弦定理．练习1：（2014·新课标全国卷Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答过程】1【解析】(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝sin60°＝2.【考点2】测量距离问题1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α．3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．4．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．（如图所示）例2（2014·全国新课标卷Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m．2【点拨】在Rt△ABC中，求得AC＝100；在△MAC中，AM＝100，在Rt△AMN中，有MN＝150．【解析】在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有＝，即AM＝×100＝100，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin60°×100＝150.【答案】150．【小结】本题考查正弦定理及仰角的概念．练习1：江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_______．【解答过程】【解析】设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，∴BC＝30.【考点3】测量角度问题例3如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度，则cos=.3【点拨】在△ABC中，BC=200sin15；在△DBC中，)90sin(15sin20045sin50求出cos．【解析】在△ABC中，AB=100m,ÐCAB=15,ÐACB=45-15=30由正弦定理：15sin30sin100BC∴BC=200sin15在△DBC中，CD=50m,ÐCBD=45,ÐCDB=90+由正弦定理：)90sin(15sin20045sin50Þcos=13-.【答案】13-.【小结】本题考查正弦定理应用．练习1：如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.4【解答过程】【解析】作DM∥AC交BE于N，交CF于M．DF=,DE==130,EF==150,在△DEF中，由余弦定理得cos∠DEF=所以∠DEF的余弦值为.5练习2：如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0,>0)x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120．（1）求A,的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【解答过程】【点...