课时分层作业(十九)平面向量的坐标运算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列选项中正确的是()A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)A[由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．]2．若点P的坐标为(2016,2)，向量PQ＝(1，－3)，则点Q的坐标为()A．(2015,5)B．(2015，－1)C．(2017，－1)D．(2017,5)C[∵PQ＝OQ－OP，∴OQ＝OP＋PQ＝(2016,2)＋(1，－3)＝(2017，－1)．]3．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()A．(2,4)B．(2，－4)C．(－2,4)D．(－2，－4)D[BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．]4．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为()A．(5,14)B．(5,4)C．(7,14)D．(7,4)A[设B点坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)，∵AB＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)，∴∴]5．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为()A．1,4B．－1,4C．1，－4D．－1，－4B[∵AB＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，∴解得]二、填空题6．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝____________，b＝________.(3,5)(－2，－2)[由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]7.如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝2，∠xOA＝150°，则向量OA的坐标为________．(－，1)[过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝|OA|cos150°＝－，y＝|OA|sin150°＝1.所以OA的坐标为(－，1)．]8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝MN，则P点的坐标为________．[设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)＝，∴∴∴P点的坐标为.]三、解答题9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|，求P点的坐标．[解](1)∵AB＝(2,0)，又∵a＝AB，∴∴x＝－1.(2)设P(x，y)，则P1P＝(x－2，y＋1)，PP2＝(－x,5－y)，∵点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|，∴P1P＝2PP2，∴∴∴P.10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求DF.[解]因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有AD＝(AB＋AC)＝，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，故有DF＝DA＝－AD＝.[等级过关练]1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(7,4)B．(－7,4)C．(－7，－4)D．(7，－4)C[∵AB＝(3,1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]2．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝()A.B.C.D.B[过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.]3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.(－3，－5)[由向量的平行四边形法则可知AC＝AB＋AD，∴AD＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于________．{(－2，－2)}[令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．]5．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；(2)若OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.[解](1)设点P的坐标为(x，y)，因为PA＋PB＋PC＝0，又PA＋PB＋PC＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．所以解得所以点P的坐标为(2,2)，故OP＝(2,2)．(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以AB＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，AC＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，因为OP＝mAB＋nAC，所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以两式相减得m－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
