高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比 1.1 归纳推理课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

1.1归纳推理[A组基础巩固]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)，a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.B.C.D.解析：由Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)可以分别求出a2，a3，a4，然后猜想an，也可以取n为特殊值进行验证．答案：B2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由图可知，三白二黑，为一周期进行排列，因为36＝5×7＋1，则第36颗珠子与第1颗颜色相同，为白色．答案：A3．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：由所给的四项可知第k项的第一个因式为ak－1，最后一个因式为a2k－2.答案：D4．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：A表示竖线，B表示大矩形，C表示横线，D表示小矩形，所以A*D是(2)，A*C是(4)，故选C.1答案：C5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．答案：C6．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中●的个数是________．解析：由1＋2＋3＋…＋12＝78个白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，所以前100个圈中“●”的个数为12.答案：127．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________________________________________．解析： 1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．给出若干数：，，，，…，由此猜想第n个数为________．解析：根据已经给出的前4个数的规律，可归纳得第n个数为.答案：9．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出Sn的结果．解析：当n＝1,2,3,4时，计算原式的值分别为S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母小1，归纳猜想：Sn＝.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．解析：当n＝1时，S1＝a1＝－；当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.猜想：Sn＝－，n∈N＋.[B组能力提升]1．甲、乙、丙、丁四位小朋友做换位游戏，开始时，甲、乙、丙、丁分别坐在1、2、3、4号座位(如2图)．第一次前后排小朋友互换座位，第二次左右列小朋友互换座位，第三次再前后排小朋友互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2016次互换座位后，小朋友丁的座位号是()A．1B．2C．3D．4解析：从题中所给换位方法及图示可知，每交换4次回复到开始位置，故第2016次互换座位后与第四次互换座位后相同．答案：D2．观察下列数表规律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→14→58→912→…则数2015的箭头方向是()A．↑→B．↓→C．→↑D．→↓解析：因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2015在上行，则2015＝3＋(n－1)·4⇒n＝504∈N＋.故2015在上行，又因为在上行奇数的箭头为→↓，故选D.答案：D3．已知数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析：由前面的几个数对不难发现，数对中两数之和为2的有1个，为3的有2个，为4的有3个，…，为11的有10个，则根据数对规律可...