高考数学 玩转压轴题 专题7.3 临界知识问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题7.3临界知识问题一．方法综述对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。二．解题策略类型一定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于()A．1B．3C．5D．7【答案】B【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。【举一反三】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝，a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【答案】C【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2．若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2．本题选择C选项．类型二高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆TR⊆的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①②【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z，则n的最小值为，故选：D．类型三立体几何中的临界问题立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．【答案】【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B．三．强化训练1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中．则的值为（）．A．B．C．D．【答案】B2．【北京市西城区2017—2018第一学期期末】设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】当为面时，A,C,,到面的距离相等，即，排除C;取E,F,G,H为，的中点，记为时，点，六个点到面的距离相等，即，排除A,B．故选D．3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函...