高考数学 专题十二 数列求和精准培优专练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

培优点十二数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，，即，解得：，，．（2），①，②得，∴所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）时，，当时，符合上式，， 为等比数列，，设的公比为，则，而，，解得或， 单调递增，，．（2），．一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（）A．10B．14C．15D．17【答案】C【解析】 ，∴，∴，，故选C．2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，，，二次函数的对称轴为，开口向下，对点增分集训又 ，∴当时，取最大值．故选C．3．对于函数，部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A．7554B．7549C．7546D．7539【答案】A【解析】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则，，，，，则数列是周期为4的周期数列，由于，且，故．故选A．4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，则，解得，则．由于，则，解得．故答案为10．故选C．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，，∴可得，，这样，，，，，，，而，，∴在，，，中最大的是．故选C．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 数列是首项与公比均为的等比数列．∴其前项和为．故选D．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A．0B．1C．2D．【答案】D【解析】由题意知，，由，得，∴，∴恒成立，，故最小值为，故选D．8．数列的前项和为，若，则（）A．2018B．1009C．2019D．1010【答案】B【解析】由题意，数列满足，∴，故选B．9．已知数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由，解得，令，故．故选A．10．已知函数，且，则（）A．20100B．20500C．40100D．10050【答案】A【解析】，当为偶数时，，当为奇数时，，故．故选A．11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】，∴原式，当时，，∴整数部分为1，故选B．12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A．305B．306C．315D．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，，两式相减得，∴，此时，当时，对应的项为，即，故选D．二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】由可得：当时，有，①当时，有，②当时，有，③有，有，则．故答案为440．14．表示不超过的最大整数．若，，，，则__________．【答案】，【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，第二个等式，起始数为2，项数为，，第三个等式，起始数为3，项数为，，第个等式，起始数为，项数为，，，故答案为，．15．已知函数，则________；【答案】2018【解析】 ，设，①则，②得，∴．故答案为2018．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；【答案】【解析】 数列的前项的“均倒数”为，∴，解得，∴，当时，，当时，上式成立，则，∴，，则．故答案为．三、解答题17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），，∴，又，，∴，∴；（2） ，，两式相减得，则．18．...