高中数学 课下能力提升（九）垂直关系的判定 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

课下能力提升（九）垂直关系的判定一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2．在三棱锥ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是()A．若m⊥α，则m∥lB．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥lD．若m∥l，则m⊥α5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()A．AG⊥平面EFGB．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEFD．GH⊥平面AEF二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．8．已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．三、解答题9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．答案1.解析：选B由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．2.解析：选C由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B⇒AD⊥平面BCD，AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.3.解析：选B如图，连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.4.解析：选BA中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．5.解析：选A∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.6.解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.答案：垂直7.解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.答案：68.解析：如图，由PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，∴BC⊥PO.∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．答案：外垂内9.证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.