第9课时二面角1．(2018·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V－AB－C的余弦值的大小为()A.B.C.D.答案B解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，VE，根据题意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝，故选B.2.如图，三棱锥S－ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC，则二面角A－BC－S的正切值为()A．1B.C.D．2答案C解析 三棱锥S－ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC，∴SA⊥平面SBC，且AB＝AC＝，如图，取BC的中点D，连接SD，AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，则∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，设SA＝SB＝SC＝1，则SD＝，在Rt△ADS中，tan∠ADS＝＝＝，故选C.另解：以S为坐标原点，SB，SC，SA的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设SA＝1，则S(0，0，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，SA＝(0，0，1)，AB＝(1，0，－1)，AC＝(0，1，－1)，易知SA＝(0，0，1)为平面SBC的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则即令z＝1，则n＝(1，1，1)为平面ABC的一个法向量，所以cos〈SA，n〉＝，故二面角A－BC－S的正切值为.3．(2018·福州质量检测)三棱锥A－BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D的大小为150°，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为()A．7πB．12πC．16πD．28π答案D解析本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积．设球心为F，过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，取BC的中点E，连接AE，OE，EF，则∠AEO＝30°，AE＝3，AO＝，OE＝，EC＝，外接球球心F在过E且平行于AO的直线上，设FE＝x，外接球半径为R，则R2＝3＋x2＝()2＋(－x)2，解得x＝2，R2＝7，则外接球的表面积为4πR2＝28π，故选D.4.(2018·浙江温州中学模拟)如图，四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝.现将△ABD沿BD折起，当二面角A－BD－C处于[，]的过程中，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是()A．[－，]B．[，]C．[0，]D．[0，]答案D解析如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，∴∠AEC即为二面角A－BD－C的平面角．而AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC＝4－2cos∠AEC，又∠AEC∈[，]，∴AC∈[1，]，∴AB·CD＝2cos〈AB，CD〉＝AB·(BD－BC)＝－2＋AB·BC·＝1－∈[－，]，设异面直线AB，CD所成的角为θ，∴0≤cosθ≤·＝，故选D.5.如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆，则θ＝________．答案解析如图，经过平面α内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径，则这两条直径在平面β上的射影是椭圆的长轴和短轴，则短轴的延长线和垂直于棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角，记为θ.因为e＝＝，所以＝，故cosθ＝＝，解得θ＝.16.(2018·甘肃天水一模)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，PA＝AB＝1，PA⊥平面ABCD，E是BC边上的动点，记二面角P－ED－A的大小为θ，则tanθ的取值范围为________．答案[，]解析由A点作AO⊥ED于O，连接PO，则∠POA为二面角的平面角．tan∠POA＝＝.又OA∈[，2]，∴tan∠POA∈[，]．7．(2018·沧州七校联考)三棱锥A－BCD的三视图如图所示：则二面角B－AD－C的正弦值为________．答案解析如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5，3，4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD的高为4，建立如图空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)，∴DA＝(3，－5，4)，DB＝(0，－5，0)，DC＝(3，0，0)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABD的一个法向量，∴n1⊥DA，n1⊥DB.∴∴可取n1＝(4，0，－3)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面ADC的一个法向量， n2⊥DA，n2⊥DC，∴∴可取n2＝(0，4，5)．cos〈n1，n2〉＝＝.∴sin〈n1，n2〉＝＝.即二面角B－AD－C的正弦值为.8．(2018·洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，二面角F－AB－D是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线D...
