【与名师对话】2016版高考数学一轮复习5.2等差数列课时跟踪训练文一、选择题1．(2015·重庆六区调研抽测)已知等差数列{an}的公差d＝－2，前10项和S10＝110，则数列{an}的通项公式为an＝()A．18＋2nB．18－2nC．22＋2nD．22－2n解析：S10＝10a1＋×(－2)＝110，得a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n.答案：D2．(2015·江西宜春模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2013的值等于()A．－2013B．－2012C．2012D．2013解析：由－＝2可得－＝2，即d＝2a2013＝a1＋(2013－1)×2＝2011，S2013＝＝－2013，故选A.答案：A3．(2015·河北唐山一中调研)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64解析：由题意可知2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，S11＝＝＝11a6＝，a6＝，则d＝＝，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.答案：A4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A.B.C.D.解析：∵在等差数列{an}中S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，由题意可设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，S9－S6＝3，S12－S9＝4，∴S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝10，∴＝.故选A.答案：A5．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S等于()A．8B．9C．10D．11解析：S4＝1，S8＝4⇒S8－S4＝3⇒S12－S8＝5⇒S16－S12＝7⇒依据等差数列连续n项和仍为等差数列的性质可知，S＝S20－S16＝9.故选B.答案：B6．(2014·马鞍山质检)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6和S7均为Sn的最大值解析：S6＝S7，∴a7＝0，由S50，由S7>S8得a8<0且S6>S8，S5>S9，此数列前6项为正数，a7＝0，从第8项开始为负数，递减数列，公差d<0，选C.答案：C二、填空题7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.1解析：∵Sn＝na1＋n(n－1)d，∴S5＝5a1＋10d，S3＝3a1＋3d，∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝.答案：8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝15,2a6＝a3＋7，且ak＝13，则k＝__________.解析：由a4＋a7＋a10＝3a7＝15，得a7＝5，又由2a6＝a3＋a9＝a3＋7，得a9＝7，从而可得公差d＝1，又ak－a9＝(k－9)d，得13－7＝(k－9)×1，∴k＝15.答案：159．在数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析：an＋2－an＝1＋(－1)n，当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝a1＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2，则a2k＝a2＋2(k－1)＝2k，所以an＝n，S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50＋＝2600.答案：2600三、解答题10．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项．解：(1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得－＝3(n≥2)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.11．(2014·东北三校联考)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，故数列{an}为等差数列．设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，解得a1＝2，d＝4.∴an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31，令即解得≤n≤，∵n∈N*，∴n＝15，即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{bn}的首项是－29，公差为2，∴T15＝＝－225，∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.12．已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)解法一：假设存在实数λ，使得数列为等差数列．2设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.∴2×＝＋.∴＝＋.解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为首项是2、公差是1的等差数列．解法二：假设存在实数λ，使得数列为等差数列．设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．∴2×＝＋.∴λ＝4an＋1－4an－an＋2＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.综上可知，当λ＝－1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．3
