专题四第二讲数列求和及综合应用A组1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前10项的和为(D)A．(49－1)B．(410－1)C．(49－1)D．(410－1)[解析]由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，∴数列{ban}前10项和为＝(410－1)．2．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于(B)A．1－B．(1－)C．1－D．(1－)[解析]因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B．3．(文)给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是(B)A．4900B．4901C．5000D．5001[解析]根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：，，，…，，，…，，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901．(理)(2017·合肥市质检)以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是(D)A．2a3>3a4B．5a5>a1＋6a6C．a5＋a4－a3<0D．a3＋a6＋a12<2a7[解析]依题意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1＋3d)＝－(a1＋5d)＝－a6>0,2a3>3a4；5a5－(a1＋6a6)＝5(a1＋4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a6>0,5a5>a1＋6a6；a5＋a4－a3＝(a3＋a6)－a3＝a6<0.综上所述，故选D．4．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是(C)[解析] Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．[点评]可取特殊数列验证排除，如an＝3－n．5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2;②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(C)A．①②B．③④C．①③D．②④[分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{an}是等比数列，则{f(an)}仍是等比数列．[解析]解法一：设{an}的公比为q．①f(an)＝a， ＝()2＝q2，∴{f(an)}是等比数列，排除B、D．③f(an)＝， ＝＝，∴{f(an)}是等比数列，排除A．解法二：不妨令an＝2n．①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝a＝4n.显然{f(an)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以＝＝4≠＝＝16，所以{f(an)}不是等比数列．③因为f(x)＝，所以f(an)＝＝()n．显然{f(an)}是首项为，公比为的等比数列．④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln2n＝nln2．显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C．6．若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝__560__.[解析] bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560．7．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为____.[解析] a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0，∴Sn＝，∴an＝n，∴＝＝，当n＝2时，n＋取最小值4，此时取到最大值．8．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．[解析](1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．由a4＝a1q3得公比为q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1．(2)Sn＝＝2n－1，又bn...
