高中数学 课时分层作业17 向量的数乘（含解析）苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

课时分层作业(十七)向量的数乘(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知λ∈R，则下列说法正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0C[当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]2．如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝()A.(b－a)B.(b－a)C.(a－b)D.(a－b)A[MN＝MC＋CN＝MC－NC＝AD－AC＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．]3．已知向量a，b且P1P2＝a＋2b，P2P3＝－5a＋6b，P3P4＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．P1，P2，P3B．P1，P3，P4C．P2，P3，P4D．P1，P2，P4D[∵P2P4＝P2P3＋P3P4＝2a＋4b＝2P1P2，∴P1，P2，P4三点共线．]4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝()A．－B.C.D.C[∵m与n共线，∴存在实数λ，使得m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，∴∴λ＝，k＝.]5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为()A．－B．－C.D.D[DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]二、填空题6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则BO＝________.(用e1，e2表示)e2－e1[∵AD＝BC，∴BD＝AD－AB＝3e2－2e1.又∵BD＝2BO，∴BO＝e2－e1.]7.＝________.2b－a[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]8．若AC＝AB，则BC＝________AC.－[∵AC＝AB，∴点A，B，C三点共线，且AC与AB同向，∵＝(如图)，∴＝，又BC与AC反向，∴BC＝－AC.]三、解答题9．已知在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．[证明]如图所示．∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD＝2BC.∴AD与BC共线，且|AD|＝2|BC|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．[解](1)证明：∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，∴AM＝λAB(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．又AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM与AB同向，∴|AM|>|AB|>0，∴λ>1.[等级过关练]1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝()A．－2B．－1C．1D．2A[∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0.又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.∴∴]2．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为()A．1B．2C．3D．4C[由MA＋MB＋MC＝0可知，M是△ABC的重心．取BC的中点D，则AB＋AC＝2AD.又M是△ABC的重心，∴AM＝2MD，∴AD＝AM，∴AB＋AC＝3AM，即m＝3.]3．若AB＝5e，CD＝－7e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．等腰梯形[∵AB＝5e，CD＝－7e，∴CD＝－AB，∴AB与CD平行且方向相反，易知|CD|＞|AB|.又∵|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是等腰梯形．]4．在△ABC中，BD＝2DC，AD＝mAB＋nAC，则m＝________，n＝________.[AD－AB＝2AC－2AD，∴3AD＝AB＋2AC，∴AD＝AB＋AC.]5．如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a，b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求λ的值．[解](1)由A是BC的中点，则有OA＝(OB＋OC)，从而OC＝2OA－OB＝2a－b.由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得OD＝OB，从而DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由于C，E，D三点共线，则EC＝μDC，又EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，从而(2－λ)a－b＝μ，又a，b不共线，则解得λ＝.