第三章变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于()A．－B．0C.D.解析：选B. f(x)＝，∴f′(x)＝()′＝0.2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为()A．(6＋Δt)m/sB．(6＋Δt＋)m/sC．(3＋Δt)m/sD．(＋Δt)m/s解析：选A.平均速度为＝＝(6＋Δt)m/s.3．函数f(x)＝x3＋x＋1，则lim＝()A．1B．4C．5D．0解析：选B.由已知得f(1)＝3，故lim＝lim＝f′(1)＝3x2＋1|x＝1＝4，故选B.4．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B.由图像可知，f′(xA)＜f′(xB)．5．下列求导运算中正确的是()A．(x＋)′＝1＋B．(lgx)′＝C．(lnx)′＝xD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选B.(x＋)′＝1－，故A错；(lnx)′＝，故C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错，故选B.6．已知y＝2x3＋＋cosx，则y′等于()A．6x2＋x－－sinxB．6x2＋x－＋sinxC．6x2＋x－＋sinxD．6x2＋x－－sinx解析：选D.y′＝(2x3)′＋(x)′＋(cosx)′＝6x2＋x－－sinx.7．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为()A.B.C.D.解析：选D.因为y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－x2⇒y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()1解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．9．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选D.由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由题意，得0＜3x2－8＜1，＜x2＜3，解得－＜x＜－，＜x＜，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个．10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝lnx，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即lnx＝，在同一坐标系中画出函数y＝lnx，y＝的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)等于________．解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0得f′(0)＝3f′(0)，∴f′(0)＝0，f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1.答案：112．正弦曲线y＝sinx上切线斜率等于的点的横坐标为________．解析：y′＝cosx，令cosx＝，x＝2kπ±，k∈Z.答案：2kπ±，k∈Z13．f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.答案：(－∞，]14．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.答案：15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式为________．解析：由y＝xn(1－x)得y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)，∴f′(2)＝－n·2n－1－2n.又 切点为(2，－2n)．∴切线方程为：y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)．令x＝0，得an＝(n＋1)·2n.则数列的通项公式为2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.答案：2n＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题...
