课时跟踪检测（十四）定积分的概念一、基本能力达标1．下列等式不成立的是()A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dxB.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－aC.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx＝sinxdx＋sinxdx解析：选C由定积分的性质知选项A，B，D正确，故选C.2．定积分(－3)dx＝()A．－6B．6C．－3D．3解析：选A3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，(－3)dx＝－3dx＝－6.3．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为()A．e2,0B．2,0C．2,1D．1,0解析：选B解方程组可得所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.B．C.D.解析：选A将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝＝.5．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝________.解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.答案：366．计算dx＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB＝，∠AOB＝，故S阴＝×4π－×1×＝－.答案：－7．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.解：(1)3x3dx＝3x3dx＝3＝3＝12.1(2)6x2dx＝6x2dx＝6＝6＝126.(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.8．已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知xdx＝×2×2＝2，(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，dx＝×2×1＝1，∴f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.二、综合能力提升1．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b解析：选B根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx＜xdx，即a＞b＞c，故选B.2．已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4解析：选D作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.3．定积分(2＋)dx＝________.解析：原式＝2dx＋dx.因为2dx＝2，dx＝，所以(2＋)dx＝2＋.答案：2＋4．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为______．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b＝4.又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1.解方程组得∴f(x)＝x＋.答案：f(x)＝x＋5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知：∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；2sinxdx＝0(如图(1)所示)；xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋sinxdx＝xdx＝(π2－1)．6.如图所示，抛物线y＝x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为＋，求dx的值．解：解方程组得x＝±2.∴阴影部分的面积为dx.∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·＝2π＋.由定积分的几何意义得dx＝dx＝π＋.3
