第11讲函数（三角函数、数列函数）模型及其应用【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．三、三角函数的应用一般是先根据题意建立三角函数模型，再根据题意结合三角函数的图像和性质分析解答.一般根据函数的最值确定和，根据函数的最小正周期确定，根据函数的最值点确定.四、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决.注意数列的项数.五、解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六、解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．【方法讲评】函数的模型一三角函数模型解题步骤先建立对应的三角函数模型，再解答.【例1】已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）与时间（单位：时）的函数关系记作，下表是某日各时的浪高数据：(时)03691215182124(米)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数.（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？（2）由题知，当时才可对冲浪者开放，∴，【点评】（1）首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式，是函数的振幅，是相位，是初相.一般通过函数的最值求,通过周期求，通过最值点求.（2）解简单的三角函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后给赋值和实际范围求交集.【反馈检测1】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天从0时至24时的时间（单位：时）与水深（单位：米）的关系表：（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？【例2】某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点，及的中点处，已知，，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且，与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，，，设排污管道的总长为．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的...
