第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对解析 n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.答案B2.如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,用a,b,c表示向量⃗MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c解析如图所示,连接ON,AN,则⃗ON=12¿)=12(b+c),所以⃗MN=⃗ON−12⃗OA=-12a+12b+12c.答案C3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.14a2C.12a2D.√34a2解析在正四面体ABCD中,点E、F分别是BC、AD的中点,∴⃗AE=⃗AB+⃗BE,⃗AF=12⃗AD.则⃗AE·⃗AF=⃗(AB+⃗BE)·12⃗AD=12⃗AB·⃗AD+12⃗BE·⃗AD.因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,即⃗BE·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=|AB|·|AD|cosπ3=a22,所以⃗AE·⃗AF=a24,故选B.答案B4.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析设向量a+b与c的夹角为α,因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=√14,cosα=(a+b)·c|a+b||c|=12,所以α=60°.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120°.答案C5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.√55解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(√3,0,2),∴⃗AD=(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,由{n·⃗CD=0,n·⃗CB1=0,得{-y+2z=0,√3x-y+2z=0,故{x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为α,则sinα=|cos<⃗AD,n>|=|⃗AD·n||⃗AD||n|=4√5×√5=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.答案A6.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.√32B.12C.15D.2√65解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得{n1·⃗DE=6a+3b=0,n1·⃗DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|=12.答案B7.已知⃗OA=(1,2,3),⃗OB=(2,1,2),⃗OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当⃗QA·⃗QB取得最小值时,点Q的坐标为()A.(12,34,13)B.(12,32,34)C.(43,43,83)D.(43,43,73)解析 Q在直线OP上,∴可设Q(x,x,2x),则⃗QA=(1-x,2-x,3-2x),⃗QB=(2-x,1-x,2-2x).∴⃗QA·⃗QB=6x2-16x+10,∴当x=43时,⃗QA·⃗QB最小,这时Q(43,43,83).答案C8.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离是()A.3√427B.4√427C.5√427D.6√427解析 在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,∴以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,4√6),A(0,0,0),B(4,0,0),⃗AC=(0,4,0),⃗AB=(4,0,0),⃗AP=(0,4,4√6),设平面PAB的法向量n=(x,y,z),则{n·⃗AP=4y+4√6z=0,n·⃗AB=4x=0,取z=1,得n=(0,-√6,1),∴点C到平面PAB的距离d=|⃗AC·n||n|=4√6√7=4√427.故选B.答案B二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.空间四个点O,A,B,C,⃗OA,⃗OB,⃗OC为空间的一个基底,则下列说法正确的是()A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面解析若O,A,B,C四点共面,则⃗OA,⃗OB,⃗OC共面,则⃗OA,⃗OB,⃗OC不可能为空间的一个基底.故AD正确,B不正确;若O,A,B,C中有三点共线,则四点一定共面,故C也正确.答案ACD10.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b夹角为钝角,则x的取值可以是()A.-2B.1C.53D.2解析因为a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),所以a·b=-1×3-2(x-1)-3=-2x-4.因为a与b夹角为钝...
