【课时训练】正弦定理、余弦定理一、选择题1.(2018河北保定模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,且a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°【答案】D【解析】sinB===,又因为b>a,所以∠B有两个解,所以∠B=60°或120°.故选D.2.(2018西安模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】由bcosC+ccosB=asinA,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.在三角形中,sinA≠0,∴sinA=1.∴A=90°,由sin2B=sin2C,知b=c,综上可知△ABC为等腰直角三角形.3.(2018重庆巴蜀中学期中)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【答案】C【解析】由正弦定理,得=,∴sinB===>1.∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.4.(2018安徽安庆二模)设角A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+B<C”是“△ABC是钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由A+B+C=π,A+B<C,可得C>,故三角形ABC为钝角三角形,反之不成立.5.(2018河北衡水调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b=()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为cosA=,所以sinA===,所以sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.由正弦定理=,得b=×sin45°=.故选C.二、填空题6.(2018辽宁五校联考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=________.【答案】【解析】因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b.因为b+c=2a,所以c=2a-a=a.令a=5,b=3,c=7,则由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得49=25+9-2×3×5cosC,1解得cosC=-,所以C=.7.(2018济南模拟)在△ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为________.【答案】4【解析】 cosC=,0
0,∴sinA=cosA,即tanA=. 0