高中数学 课时分层作业9 等差数列前n项和的综合应用（含解析）苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP免费

课时分层作业(九)等差数列前n项和的综合应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1B[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．①③D．①④B[∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确；又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确；{Sn}中最大项为S6，④不正确．故正确的是①②.]3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．100C[易得an＝|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]4．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．21C[a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝＝－2，∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令an>0，∴41－2n>0，∴n<，∴n≤20.]5.＋＋＋＋…＋等于()A.B.C.D.1C[通项an＝＝，∴原式＝＝＝.]二、填空题6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.5[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]7．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．6或7[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．]8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．5或6[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大．]三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？[解](1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.[解]∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝2n2－15n＋56.2∴Tn＝[能力提升练]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()A．12B．14C．16D．18B[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.]2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6C[am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.]3．已知数列：1，，，…，，…，则其前n项和等于________．[通项an＝＝＝2，∴所求的和为2＝2＝.]4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．117[设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？[解](1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．(2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．34