2.4曲线与方程课后篇巩固提升基础达标练1.下列方程中表示相同曲线的一对方程是()A.x=√y与y=x2B.y=x与xy=1C.y=12lgx与y=lg√xD.y=x与x2-y2=0答案C2.方程|x|+|y|=1表示的曲线是下图中的()解析原方程可化为{x≥0,y≥0,x+y=1或{x≥0,y≤0,x-y=1或{x≤0,y≥0,-x+y=1或{x≤0,y≤0,x+y=-1,作出其图像为D.答案D3.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析由(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=12.又0≤α<2π,∴α=π3或5π3.答案C4.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,⃗OM=35⃗OA+25⃗OB,则点M的轨迹方程为()A.x29+y24=1B.y29+x24=1C.x225+y29=1D.y225+x29=1解析设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由⃗OM=35⃗OA+25⃗OB,得(x,y)=35(x0,0)+25(0,y0),由{x=35x0,y=25y0,解得{x0=53x,y0=52y,由|AB|=5,得(53x)2+(52y)2=25,化简得x29+y24=1.答案A5.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的点,则m=.解析根据点A既在曲线y=mx2上,也在直线x-y=0上,则{2=ma2,a-2=0,∴{a=2,m=12.答案126.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量⃗OP在向量⃗OA上的投影为-√5,则点P的轨迹方程是.解析由⃗OP·⃗OA|⃗OA|=-√5,知x+2y√5=-√5,即x+2y+5=0.答案x+2y+5=07.若动点P在曲线y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程是.解析设PQ的中点的坐标为(x,y),P(x0,y0),则{x=x0+02,y=y0-12,∴{x0=2x,y0=2y+1.又 点P在曲线y=2x2+1上,∴2y+1=8x2+1,即y=4x2.答案y=4x28.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为3√2,求m的值.解设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,得{x+y-m=0,y=x2.①②将②代入①,得x2+x-m=0,所以{x1+x2=-1,x1x2=-m,所以|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√1+(-1)2·|x1-x2|=√2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2·√1+4m=3√2,所以√1+4m=3,所以m的值为2.能力提升练1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是()A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析(x-y)2+(xy-1)2=0,即{x-y=0,xy-1=0.故{x=1,y=1或{x=-1,y=-1.答案C2.下列命题正确的是()A.方程xy-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0解析对照曲线和方程的概念,A中的方程需满足y≠2;B中“中线AO的方程是x=0(0≤y≤3)”;而C中,动点的轨迹方程为|y|=5,因而只有D是正确的.答案D3.在直角坐标平面内,点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足tan∠PAB·tan∠PBA=m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()A.x2-y2m=1(y≠0)B.x2-y2m=1C.x2+y2m=1(y≠0)D.x2+y2m=1解析设P(x,y),由题意,得yx+1·yx-1=-m(m≠0),化简可得x2+y2m=1(y≠0).答案C4.直线y=kx+1与y=2kx-3(k为常数,且k≠0)交点的轨迹方程是.解析y=kx+1与y=2kx-3联立,消去k,得y=5.由y=kx+1=5,得kx=4. k≠0,∴x≠0.故所求的轨迹方程为y=5(x≠0).答案y=5(x≠0)5.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是.解析由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,设P(x,y),则√(x+2)2+y2=2√(x-1)2+y2,整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).答案(x-2)2+y2=4(y≠0)6.已知P为圆(x+2)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.解设M(x,y),P(x1,y1). M为线段OP的中点,∴{x=x12,y=y12,即{x1=2x,y1=2y,即P(2x,2y).将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)2+y2=1,可得(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14,此方程为点M的轨迹方程.∴点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,12为半径的圆.7.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;(2)记(1)中轨迹曲线为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.解(1)由题意,得|MP||MQ|=5,即√(x-26)2+(y-1)2√(x-2)2+(y-1)2=5,化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.轨迹曲线是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2...
