高中数学 课时分层作业14 求曲线的方程 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

课时分层作业(十四)求曲线的方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点P的轨迹方程是________．[解析]PB＝(3－x，－y)，PA＝(－2－x，－y)，∴PA·PB＝(3－x)·(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.[答案]y2＝x2．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的__________条件．[解析]“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．[答案]必要不充分3．平面内有两定点A，B，且AB＝4，动点P满足|PA＋PB|＝4，则点P的轨迹方程是________．[解析]以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－2,0)，B(2,0)． |PA＋PB|＝|2PO|＝4，∴|PO|＝2.设P(x，y)，∴＝2，即x2＋y2＝4，∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4.[答案]x2＋y2＝44．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________.【导学号：71392132】[解析]设Q(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上任一点，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得∴ Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.∴(x－2)2＋(y＋1)2＝1即为中点轨迹方程．[答案](x－2)2＋(y＋1)2＝15．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．[解析]由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，AB＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.[答案]4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝06．已知AB＝3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程是________．[解析]设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)． AB＝3，∴x＋y＝9，OP＝(x，y)＝OA＋OB＝(x0,0)＋(0，y0)＝.所以即又x＋y＝9，所以x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.[答案]＋y2＝17．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．[解析]如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．[答案]－＝1(x>3)8．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________．[解析]由B，C的坐标分别为(－2,0)，(2,0)得D(0,0)．设A(x，y)，则由AD＝3得x2＋y2＝9，又A为△ABC的顶点，故A、B、C三点不能共线，故点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．[答案]x2＋y2＝9(y≠0)二、解答题9．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程.【导学号：71392133】[解]如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意知，O1A＝O1M，①当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN垂足为H，则H是MN的中点， MN＝8，∴O1M＝＝.又O1A＝，∴＝，化简整理得y2＝8x(x≠0)．②当O1在y轴上时，O1与原点O重合为一点，O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x.综上，动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.10．如图265，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．图265[解]法一：设点M的坐标为(x，y)． M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)． l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.而kPA＝(x≠1)，kPB＝，∴·＝－1(x≠1)．整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM. l1⊥l2，∴2PM＝AB.而PM＝，AB＝，∴2＝，化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．法三： l1⊥l2，OA⊥OB，∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，∴MP＝MO，∴点M的轨迹为线段OP的垂直平分线． kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.[能力提升练]1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．[解析]设P(x，y)， △MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN...