课时规范练25平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2018河北保定一模,4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则“x<0或x>4”是“向量a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()A.-B.C.D.4.若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ)=0,则实数λ的值为()A.3B.-C.-3D.-5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.106.(2018湖南长郡中学四模,3)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则“x>0”是“a与b夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.(2018北京,文9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=.8.(2018河南郑州三模,14)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=.9.(2018河北衡水中学考前仿真,13)已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),|a+b|=|a-b|,则5a-3b的模等于.10.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.11.(2018衡水中学16模,13)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1,若e为平面单位向量,则(a-b)·e的最大值为.综合提升组12.(2018北京,理6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.(2018河北保定一模,10)已知向量a=sin4,cos4,向量b=(1,1),函数f(x)=a·b,则下列说法正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)的一条对称轴为直线x=C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)在内是减少的14.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.15.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则||的最大值是.创新应用组116.(2018衡水中学九模,9)若实数x,y满足不等式组m=,n=,则m·n的取值范围为()A.B.[2,+∞)C.D.∪[2,+∞)17.(2018河南郑州三模,11)已知P为椭圆=1上的一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则的取值范围为()A.B.C.D.[2-3,+∞)2课时规范练25平面向量的数量积与平面向量的应用1.A由题意得cos∠ABC=,所以∠ABC=30°,故选A.2.B“向量a与b的夹角为锐角”的充要条件为a·b>0且向量a与b不共线,即x2-4x>0,x∶x≠2x∶(-2),∴x>4或x<0,且x≠-1,故“x>4或x<0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,选B.3.B设=a,=b,则(b-a),(b-a),=-a+(b-a)=-a+b.故=-a·b+b2=-,应选B.4.C∵=(1,2),=(4,5),∴=(3,3),λ=(λ+4,2λ+5).又·(λ)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.C依题意,得=1×(-4)+2×2=0,∴.∴四边形ABCD的面积为|||==5.6.C若a与b夹角为锐角,则a·b>0,且a与b不平行,所以a·b=2(x-1)+2=2x>0,得x>0,且x-1≠4,x≠5,所以“x>0”是“x>0,且x≠5”的必要不充分条件,故选C.7.-1由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即m+1=0,∴m=-1.8.∵|2a-b|=1,∴(2a-b)2=1,∴4-4|a||b|cos30°+|b|2=1,即|b|2-2|b|+3=0,∴|b|=.9.∵|a+b|=|a-b|,∴a⊥b,-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1.a=(1,2),b=(-2,1),5a-3b=(11,7),|5a-3b|=.10.6(方法1)设P(cosα,sinα),α∈R,则=(2,0),=(cosα+2,sinα),=2cosα+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cosα+4取得最大值,最大值为6.故的最大值为6.(方法2)设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值为6.11.由|a|=1,|b|=2,且a·b=1,得cos
=,∴cos=60°.设a=(1,0),b=(1,),e=(cosθ,sinθ),∴(a-b)·e=-sinθ,∴(a-b)·e的最大值为,故答案为.12.C由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.13.Df(x)=a·b=sin4+cos4-2sin2cos2=1-sin2x=,所以f(x)是偶函数,x=不是其对称轴,最小正周期为π,在内是减少的,所以选D.14.∵=2,3∴)=.又=λ,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4.∴=3×2×=3,·(λ)=-4,即=-4,∴×4-×9+×3=-4,即λ-5=-4,解得λ=.15.1+设D(x,y),由||=1,得(x-3)2+y2=1,向量=(x-1,y+),故||=的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-)的距离加上圆的半径,即+1=1+.16.A作出可行域,如图,∵m=,n=,∴m·n=.记z=表示可行域上的动点与(-1,-2)连线的斜率,由得点A(-3,1),点B(-1,0),点C(-2,0),由图不难发现z=.17.C椭圆=1的a=2,b=,c=1.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),半径为1.由题意设PA与PB的夹角为2θ,则|PA|=|PB|=,∴=||·||cos2θ=·cos2θ=·cos2θ.设cos2θ=t,则y==(1-t)+-3≥2-3.∵P在椭圆的右顶点时,sinθ=,∴cos2θ=1-2×,此时的最大值为,∴的取值范围是.4
