专题06三角函数的图像与性质1．函数f(x)＝的最小正周期是()A.B.C．πD．2π解析：选C.函数f(x)＝＝|sinx|的最小正周期T＝π，故选C.2．设函数f(x)＝3sin(x∈R)的图象为C，则下列表述正确的是()A．点是C的一个对称中心B．直线x＝是C的一条对称轴C．点是C的一个对称中心D．直线x＝是C的一条对称轴3．函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)的值为()A.B．3C．6D．－解析：选A.由图象可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，∴f(x)＝2sinx，∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，∴f(x)是周期为8的周期函数，而2017＝8×252＋1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝.4．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有f＝f，则f等于()A．2或0B．－2或2C．0D．－2或0解析：选B.由f＝f得x＝是函数f(x)的一条对称轴，所以f＝±2，故选B.5．若函数y＝f(x)的最小正周期为π，且图象关于点对称，则f(x)的解析式可以是()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝2sin2x－1D．y＝cos解析：选D.依次判断各选项，A项周期不符；B项函数图象不关于点成中心对称；C错，因为y＝2sin2x－1＝－cos2x，同样点不是图象的对称中心，故选D.6．已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是()A.B.C.D.7．为了得到函数f(x)＝2sin的图象，可将函数g(x)＝sin2x＋cos2x的图象()A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移解析：选D.依题意得g(x)＝2sin＝2sin＝f，因此为了得到函数f(x)＝2sin的图象，可将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，故选D.8．将函数f(x)＝cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在上单调递增，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点对称9．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是()A．－B.C.D．1解析：选C.因为f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，所以函数f(x)的最小正周期为，＝，ω＝2，则f(x)＝tan2x，f＝tan＝，故选C.10．将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为()A.B.C.D.解析：选A.函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f(x)＝sin，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋＝kπ，k∈Z，所以φ＝－kπ，k∈Z，则当k＝0时，φ取得最小正值，故选A.11．若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则(OB＋OC)·OA＝()A．－32B．－16C．16D．32解析：选D.因为当－2＜x＜10时，0＜x＋＜2π，故令f(x)＝2sin＝0，则x＋＝π，解得x＝4，由正弦函数的对称性可知点B，C关于点A(4,0)成中心对称，故有(OB＋OC)·OA＝2OA·OA＝2|OA|2＝32，故选D.12．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为()A.，－B.，C.，－D.，13．函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是________．解析：y＝sinx＋cosx＝sin，x∈的单调递增区间即为0≤x＋≤与x∈的交集，所以单调递增区间为.答案：14．已知函数f(x)＝sin.若y＝f(x－φ)是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y＝f(x－φ)＝sin＝sin是偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，得φ＝－－，k∈Z.又0＜φ＜，所以k＝－1，φ＝.答案：15．将函数y＝2sin(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y＝2sin，ω＞0的图象向左平移个单位后得到图象的解析式为y＝2sin，ω＞0，向右平移个单位后得到图象的解析式为y＝2sin，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx＋＝ωx－＋kπ，k∈Z，化简得ω＝2k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：216．已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)．①y＝f(x)的图象关于点(2π，0)中心对称；②y＝f(x)的图象关于直线x＝π对称；③f(x)的最大值为；④f(x)既是奇函数，又是周期函数．答案：①④17．已知函数f(x)＝2sinx·sin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝2sinx·＝×＋sin2x＝sin＋.函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
