第3节函数的奇偶性与周期性1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是()A．y＝－x3B．y＝2|x|C．y＝x－2D．y＝log3(－x)解析：B[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)解析：D[由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)，因为f(x－1)＞0，则f(|x－1|)＞f(2)，即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是(－1,3)．故选D.]3．(2019·保定市一模)已知函数f(x)＝设g(x)＝，则g(x)是()A．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增B．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减C．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增D．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减解析：B[根据题意，g(x)＝＝其定义域关于原点对称．设x＞0，则－x＜0，g(－x)＝－＝－＝－g(x)；设x＜0，则－x＞0，g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)为奇函数．又g(x)＝＝x－2在区间(0，＋∞)上递减，则g(x)在(－∞，0)上也递减．故选B.]4．(2019·合肥市模拟)已知函数f(x)＝是奇函数，则f(a)的值等于()A．－B．3C．－或3D.或3解析：C[∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝＝－，整理，得2a2－2＝0，∴a＝±1.当a＝1时，f(a)＝f(1)＝＝－；当a＝－1时，f(a)＝f(－1)＝＝3.故选C.]5．若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为()A．1B．－1C．±1D．0解析：C[因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.]6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．答案：f(1)>g(0)>g(－1)7．(2019·惠州市模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是________．解析：根据题意，有f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，又函数f(x)在R上为增函数，f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥－f(1)，即f(2x＋1)≥f(－1)，所以2x＋1≥－1，解得x≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________.解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．答案：1－19．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知所以1
