高考数学 玩转压轴题 专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题1.3极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数()()xfxxexR，如果12xx，且12()()fxfx.证明：122.xx构造函数()(1)(1),(0,1]Fxfxfxx，则0)1()1(')1(')('21xxeexxfxfxF，所以()Fx在(0,1]x上单调递增，()(0)0FxF，也即(1)(1)fxfx对(0,1]x恒成立.由1201xx，则11(0,1]x，所以11112(1(1))(2)(1(1))()()fxfxfxfxfx，即12(2)()fxfx，又因为122,(1,)xx，且()fx在(1,)上单调递减，1所以122xx，即证122.xx法三：由12()()fxfx，得1212xxxexe，化简得2121xxxex…，不妨设21xx，由法一知，1201xx.令21txx，则210,txtx，代入式，得11ttxex，反解出11ttxe，则121221ttxxxtte，故要证122xx，即证221ttte，又因为10te，等价于证明：2(2)(1)0ttte…，2构造函数()2(2)(1),(0)tGtttet，则()(1)1,()0ttGtteGtte，故()Gt在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，从而()Gt也在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，构造(1)ln2()(1)ln,(1)11ttMttttt，则2212ln()(1)tttMttt，又令2()12ln,(1)ttttt，则()22(ln1)2(1ln)ttttt，由于1lntt对(1,)t恒成立，故()0t，()t在(1,)t上单调递增，所以()(1)0t，从而()0Mt，故()Mt在(1,)t上单调递增，由洛比塔法则知：1111(1)ln((1)ln)1lim()limlimlim(ln)21(1)xxxxtttttMttttt，3即证()2Mt，即证式成立，也即原不等式122xx成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.例.（2013湖南文）已知函数21()1xxfxex，证明：当1212()()()fxfxxx时，120.xx【解析】易知，()fx在(,0)上单调递增，在(0,)上单调递减.4招式演练：★已知函数2()lnfxxxx，正实数12,xx满足1212()()0fxfxxx.证明：12512xx.【解析】由1212()()0fxfxxx，得2211122212lnln0xxxxxxxx从而212121212()()ln()xxxxxxxx，令12txx，构造函数()lnttt，得11()1tttt，可知()t在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()(1)1t，也即21212()()1xxxx，解得：12512xx.★已知函数lnfxxx．（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）若方程fxm(2)m有两个相异实根1x，2x，且12xx，证明：2122xx.【答案】（Ⅰ）yfx在(0,1)递增，yfx在(1,+)递减；（Ⅱ）见解析5（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足且，由题意可知又有(1)可知在递减故所以，令67