第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲索引1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式.课标要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α-β):cos(α-β)=;(2)C(α+β):cos(α+β)=;(3)S(α+β):sin(α+β)=;(4)S(α-β):sin(α-β)=;(5)T(α+β):tan(α+β)=;(6)T(α-β):tan(α-β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α:sin2α=;(2)C2α:cos2α===;(3)T2α:tan2α=.3.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为或,其中φ可由a,b的值唯一确定.基础自测1.(教材改编)下列各式的值为的是().A.B.1-2sin275°C.D.sin15°cos15°2.已知sinα=,则cos(π-2α)等于().13.(cos15°-cos75°)(sin75°+sin15°)等于().4.(课本精选)化简:sin200°cos140°-cos160°sin40°=.5.(教材改编题)tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.指点迷津◆一个源头公式cos(α-β)是所有公式的源头,其他公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出.◆两个技巧(1)折角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.◆三种应用公式有正用、逆用、变形用.如:考点透析2考向一三角函数的化简例1化简:(1)(2).【审题视点】(1)分子展开消去1,目标把cosα约去化为整式.(2)中分母切化弦,分子配方降幂,进行约分.【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看“角”:通过分析角之间的差异与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”:尽可能统一函数名,如弦切互化;三看“结构特征”:分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“分式通分,根式的被开方数升幂去根号”等.变式训练1.化简:.考向二三角函数的求值例2(2013·福建龙岩质检)计算sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为().3【审题视点】给角求值:非特殊角化为特殊角.【方法总结】(1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相消,从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.变式训练考向三三角函数的给值求角例3(2014·广东)已知函数4,且(1)求A的值;(2)若.【审题视点】本题考查三角函数图象的性质.【方法总结】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出角.2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数,这样,由三角函数值才可以唯一确定角.(1)若角的范围是,选正、余弦皆可;(2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;(3)若角的范围为,则选正弦.变式训练5经典考题典例(2014·山东)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.6真题体验1.(2014·全国新课标Ⅱ)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.2.(2014·湖南)如图所示,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.(第2题)73.(2014·江西)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值;(2)若的值.8参考答案与解析知识梳理1.(1)cosαcosβ+sinαsinβ(2)cosαcosβ-sinαsinβ(3)sinαcosβ+cosαsinβ(4)sinαcosβ-cosαsinβ(5)(6)2.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α1-2sin2α2cos2α-1(3)基础自测1.D2.B3.C4.5.考点透析9【例2】B解析:sin68°sin67°-sin23°cos68°=sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin(68°-23°)=sin45°=,故选B.10变式训练1112经典考题真题体验1.1解析:f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),其最大值为1.2.设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得13EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,于是由题设,知7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).1415
