第一节导数的概念与运算导数的几何意义考向聚焦导数的几何意义属于高考对导数考查的重点内容,主要考查(1)求已知曲线在某一点处的切线方程,(2)求参数的值以及参数的取值范围,通常以选择题、填空题或解答题的第(1)问出现,难度不大,所占分值5分左右,但持续的重点考查备考指津该考点是高考的热点内容,应强化训练.一是加强斜率、倾斜角、直线方程之间关系的训练,注意解析几何知识的应用;二是训练等价与转化思想,把切线问题转化为导数问题解决1.(年辽宁卷,文12,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()(A)1(B)3(C)-4(D)-8解析:抛物线x2=2y可化为y=x2,则y'=x,∵点P的横坐标为4,∴点P处的切线斜率k1=y'|x=4=4,而x=4时,y=8,∴点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.又点Q的横坐标为-2,∴点Q处的切线斜率k2=y'|x=-2=-2,而x=-2时,y=2,∴点P处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,由,解得∴两切线交点A的纵坐标为-4.答案:C.开口向上或向下的抛物线的切线问题转化为导数的几何意义处理更为方便.2.(年江西卷,文4)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()(A)1(B)2(C)e(D)解析:y'=ex,k=y'|x=0=e0=1.故选A.答案:A.3.(年湖南卷,文7)曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为()(A)-(B)(C)-(D)解析:由y=-,∴y'==,∴曲线y在点M(,0)处的切线的斜率k=y'=.故选B.答案:B.4.(年重庆卷,文3)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()(A)y=3x-1(B)y=-3x+5(C)y=3x+5(D)y=2x解析:∵y'=-3x2+6x,∴y'|x=1=3,∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3,故切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1为所求,选A.答案:A.5.(年山东卷,文4)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()(A)-9(B)-3(C)9(D)15解析:∵y'=3x2,切点P(1,12),∴y'|x=1=3,∴y=x3+11在点P(1,12)处切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0得y=9.故选C.答案:C.6.(年辽宁卷,文12)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()(A)[0,)(B)[,)(C)(,](D)[,π)解析:法一:∵y'=()'==,由于ex+≥2当且仅当ex=即x=0时等号成立,∴-1≤y'<0,即0>tanα≥-1,由正切函数图象得α∈[,π),选D.法二:由于y'=()'=<0,倾斜角必为钝角,排除选项A和B,又因为y'|x=1==->-1,因此倾斜角必然大于π,由此排除选项C,故选D.答案:D.7.(年新课标全国卷,文13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.解析:由y=x(3lnx+1)得y'=3lnx+4,则所求切线斜率为4,则所求切线方程为y=4x-3.答案:y=4x-38.(年浙江卷,文17,4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.解析:本题主要考查导数的应用以及点到直线的距离公式.因为直线y=x到x2+(y+4)2=2的距离是d=-=.所以由y'=2x=1得到x=,y=a+,所以=,解得a=或a=-,因为a>0,所以a=-(舍去).答案:本题中对导数的应用设计新颖,利用求切点成为本题的突破口.9.(年安徽卷,文17,12分)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.解:(1)法一:由题知,f(x)=ax++b≥2+b,其中当且仅当ax=1时等号成立,即当x=时,f(x)取最小值为2+b.法二:f(x)的导数f'(x)=a-=,当x>时,f'(x)>0,f(x)在(,+∞)上递增;当0
