透视解析几何中角的处理VIP专享VIP免费

1/4透视解读几何中“角”的处理解读几何中有关角的问题，涉及的知识点多，解决方法综合而灵活，是学习的一个难点，同时，又是高考的一个热点。下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸，从中透视处理“角”的一般思维程序，以展示问题求解的一般策略，并由此建构解决“角”的方法体系，最终击破难点，轻取热点。已知：椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为、，是椭圆上的任意一点，试求∠的最大值。分析：所求解的目标——角，已学习过的哪些知识（如概念、公式、定理等）与角相关联？向量的数量积，余弦定理，到角公式，⋯⋯解法一：设（）,),(1yxcMF),(1yxcMF由212121cosMFFMFMFMFMF得：21MFF2222222)()(yxcyxcycx把)1(2222axby代入上式，化简得21cosMFF||||22222axacaxaccbxac22222222222xacaacbxaca2222221xacab∵≤≤∴≤222xac≤222ab≤222222xacab≤2221ab1cos21MFF当时，∠取为最大值(2221ab)解法二：根据焦半径公式exaMF1exaMF2，由余弦定理得||||2||||||21221222121MFMFFFMFMFMFF))((2)2()()(222exaexacexaexa222222222222222222221222xeabxeacaxeaxeacxea（下同解法一）解法三：||||2||||||21221222121MFMFFFMFMFMFF2/4||||2||||2|||)||(|2121221221MFMFMFMFFFMFMF||||||||221212MFMFMFMFb121||||222212abMFMFb这里，||||221MFMF∴·≤当且仅当即（位于短轴顶点1顶点）时等号成立（下略）评注：定义是构筑知识体系的基础，利用定义解题，如同抓住了“纲”，能收到“纲举目张”的效果，可靠而灵巧。解法四：由椭圆的对称性，可设（）为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点，即≤<<≤(当位于点2时21MFF)，21MFF可看作到的角∠2222111212cyxcycxycxycxycxyKkKKMFMFMFMF224222222222222)1(2ycbcybybcbcycybyacy令()224ycby，则'()222422422242224)()()2()(ycbycbycbycyycb在其定义域内恒正,，故∠],0(b在单调递增，当即时，就是点位于上顶点，∠达到最大值*。（下略）上述探索异途同归：在点从右顶点往上顶点移动过程中，∠逐渐增大，并且当位于顶点时达到最大。变式：已知椭圆)0(12222babyax，是椭圆上任意一点，、是椭圆的左、右顶点，求∠的最大值。分析：、不是焦半径，公式、定义不能用，并且22)(yax不能通过配成完全平方而化简。故前三种解法都不可行。解：∠12121MAMAMAMAKKKK2221axyaxyaxy2222ayxay22222)1(2aybyaayycab222∠],0(b在单调递增，当时，即点位于上时∠最大，