【成才之路】高中数学2-2-1-3换底公式能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1.＝()A.B.C．1D．2[答案]A[点拨]原式＝＝＝，故选A.2．log23·log3m＝，则m＝()A．2B.C．4D．1[答案]B[解析]log23·log3m＝log2m＝∴m＝2＝，故选B.3．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]log23·log34·log45·log56·log67·log78＝×××××＝＝3，故选C.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－＝()A.B．3C．－D．－3[答案]A[解析]x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴＝log10002.5，＝log10000.25，∴－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝，故选A.5．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于()A.B.C.D.[答案]C[解析]log512＝＝＝，故选C.6．设，则x∈()A．(－2，－1)B．(1,2)C．(－3，－2)D．(2,3)[答案]D[解析]＝log310∈(2,3)，故选D.7．设a、b、c∈(0∞，＋)，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是()A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝＋[答案]B[解析]设3a＝4b＝6c＝m，∴a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m，∴＝logm3，＝logm4，＝logm6，又∵logm6＝logm3＋logm2，＝＋，即＝＋，故选B.8．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b，则logab＋logba等于()A．1B．－2C．－D．－4[答案]C[解析]由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3，那么logab＋logba＝＋＝＝＝＝－，故选C.二、填空题9．log2＋log927＋4log413＝________.[答案]15[解析]原式＝＋log3233＋13＝15.10．log43·log＝________.[答案]－[解析]原式＝log43·(－log332)＝－×log432＝－×log2225＝－×＝－.11．lg9＝a,10b＝5，用a、b表示log3645为________．[答案][解析]由已知b＝lg5，则log3645＝＝＝＝＝.12．(山东淄博～高一期中试题)设3x＝4y＝36，则＋＝________.[答案]1[解析]由3x＝4y＝36得x＝log36，y＝log436，＋＝＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.三、解答题13．(瓮安二中～学年度第一学期高一年级期末考试数学科卷)求下列各式的值：(1)log427·log258·log95；(2)(log43＋log83)(log32＋log92)．[解析](1)原式＝··＝··＝(2)解法一：原式＝log43·log32＋log83·log32＋log43·log92＋log83·log92＝log223·log32＋log233·log32＋log223·log322＋log233·log322＝log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＝＋＋＋＝.解法二：原式＝(log223＋log233)·(log32＋log322)＝(log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝.14．计算：(log23＋log49＋log827…＋＋log2n3n)×log9.[分析]此题是不同底数的对数运算，也需用换底公式进行化简求值．[解析]原式＝(log23…＋＋＋＋)×log9＝(log23＋log23＋log23…＋＋log23)×log9＝n×log23××log32＝.[点评](1)应用换底公式时，究竟换成以什么为底？①一般全都换成以10为底的对数．②根据情况找一个底数或真数的因子作为底．(2)直接利用换底公式的下面几个推论，加快解题速度．logab＝，loganbm＝logab，loganbn＝logab.15．某化工厂生产化工产品，去年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到1年)?[分析]设x年后每桶的生产成本为20元，由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式，解出x.[解析]设x年后每桶的生产成本为20元．1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得xlg0.72＝lg0.4.故x＝＝＝＝≈≈＝3(年)．所以，3年后每桶的生产成本为20元．16．设3x＝4y＝6x＝t>1，求证：－＝.[分析]对数与指数的底数都不相同时，首先用换底公式将底数化为相同．[解析]证法一：∵3x＝4y＝6z＝t>1，∴x＝，y＝，z＝，∴－＝－＝＝＝.证法二：∵3x＝4y＝6z＝t>1，两边同时取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，∴－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝.[点评]化为同底与指对互化是解决指数、对数求值问题的常用策略．运用换底公式时，要注意选取合适的底数，以达到简化运算的作用．
