【成才之路】-学年高中数学第3章§2变化率与导数同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．设函数f(x)在x＝1处存在导数，则lim＝()A．f′(1)B．3f′(1)C.f′(1)D．f′(3)[答案]C[解析]lim＝lim＝f′(1)．2．如果函数y＝f(x)在点(3,4)处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f′(3)等于()A．2B．－C．－2D.[答案]C[解析] 切线的斜率为－2，∴f′(3)＝－2，故选C.3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]由导数的几何意义可知f′(x0)＝－<0，故选B.4．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，lim＝lim(1－Δx＋Δx2)＝1，∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.5．函数y＝x＋在x＝1处的导数是()A．2B.C．1D．0[答案]D[解析]Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋，＝1－，lim＝lim＝1－1＝0，∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案]A[解析]由已知点(0，b)是切点．Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b＝(Δx)2＋aΔx，∴＝Δx＋a，y′|x＝0＝lim＝a. 切线x－y＋1＝0的斜率为1，∴a＝1.又切点(0，b)在切线上，∴b＝1.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝lim＝lim＝lim[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.8．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________.[答案]1[解析]设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.由，得，即P(－1,1)，又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.9．若f′(x)＝3，则lim＝________.[答案]6[解析]lim＝lim2·＝2lim＝2f′(x)＝6.三、解答题10．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求切点的坐标；(2)求a的值．[答案](1)或(1,1)(2)[解析](1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．f′(x)＝lim＝lim＝3x2－2x.由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.于是切点的坐标为或(1,1)．(2)当切点为时，＝－＋a，∴a＝；当切点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)．∴a的值为，切点坐标为(－，)．一、选择题11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为()A.B．－C.D．－[答案]D[解析]由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.12.已知函数y＝f(x)的图像如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．0>f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)>0[答案]B[解析]f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)
