【成才之路】-学年高中数学第3章§4导数的四则运算法则同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝()A.B.C.D．1[答案]B[解析]y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝，∴y0＝，代入y＝ax2＋1得，＝＋1，∴a＝，故选B.2．(·山师附中高二期中)设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f′()＝()A.B．－C．0D.[答案]A[解析] f′(x)＝cosx＋sinx，∴f′()＝cos＋sin＝，故选A.3．函数y＝的导数是()A．－B．－sinxC．－D．－[答案]C[解析]y′＝′＝＝.4．(·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为()A.B．－C．ln2D．－ln2[答案]C[解析]f′(x)＝ex－ae－x，由f′(x)为奇函数，得f′(x)＝－f′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故选C.5．(·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e[答案]C[解析] f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.6．(·泸州市一诊)若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8[答案]A[解析] f′(x)＝－x－，∴f′(a)＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18，∴a＝64.二、填空题7．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]3[解析] 已知切点在切线上，∴f(1)＝＋2＝，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.8．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.9．(·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案]2x－y＋1＝0[解析] 点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.三、解答题10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图像上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图像在x＝a处的切线平行于直线AB.[答案][解析]直线AB的斜率kAB＝－1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(a)＝－1(0
