数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求22222212979899100的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①个nnS111111111②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，⋯前n项和nS思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9110101011112kkkka个])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn8110910]9)110(10[911nnnn②)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时③kkkkkkkkkkak23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(22)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221nnnnnnnaaaSnn)25)(1(61nnn总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。2．错位相减法求和例2．已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，⋯2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时21)1()12()12(1aananaSnnn当2,1nSan时3.裂项相消法求和例3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnnnaaaSnn练习:求nnanaaaS32321答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn4.倒序相加法求和例4求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210等式成立5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。思路分析：nnna)1(22，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则)1(2)12()2321(2nnmmmSn若)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则22)1()1(224222nnnnmm)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn预备：已知nnnaaaaxaxaxaxf,,,,)(321221且成等差数列，n为正偶数，又nfnf)1(,)1(2，试比较)21(f与3的大小。解：naaaaafnaaaafnnn13212321)1()1(2222)(121dnaandnnnaann12122)1(111naadndnaannnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2， n为正偶数，3)21(f巩固练习1．求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，⋯，5(101)9n，⋯；（2）1111,,,,,132435(2)nn；（3）11nann；（4）23,2,3,,,naaana；（5）13,24,35,,(2),nn；（6）2222sin1sin2sin3sin89．2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个235[(101)(101)(101)(101)]9n235505[10101010](101)9819nnnn．（2） 1111()(2)22nnnn，∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．（3） 1111(1)(1)nnnannnnnnnn∴11121321nSnn(21)(32)(1)nn11n．（4）2323nnSaaana，当1a时，123nS⋯(1)2nnn，当1a时，2323nSaaa⋯nna，23423naSaaa⋯1nna，两式相减得23(1)naSaaa⋯11(1)1nnnnaaananaa，∴212(1)(1)nnnnanaaSa．（5） 2(2)2nnnn，∴原式222(123⋯2)2(123n⋯)n(1)(27)6nnn．（6）设2222sin1sin2sin3sin89S，又 2222sin89sin88sin87sin1S，∴...
