【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.2几种常见的平面变换4旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.求出△ABC在矩阵12－323212作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0，0)，B(1，3)，C(0，2).【解】因为12－32321200＝00，12－32321213＝－13，12－32321202＝－31，所以△ABC在矩阵12－323212作用下变换得到的图形为△A′B′C′，其中A′(0，0)，B′(－1，3)，C′(－3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x＋y＝3在矩阵1101作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在矩阵M＝1101作用下变成什么图形？这里A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1).【解】(1)直线x＋y＝3在矩阵1101作用下变成直线x＝3.(2)在矩阵M＝1101对应变换下，A→A′(－2，－1)，B→B′(0，－1)，C→C′(2，1)，D→D′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A′B′C′D′，如图.3.椭圆x29＋y2＝1在矩阵1000对应的变换作用下得到什么图形？【解】设(x，y)为椭圆x29＋y2＝1上的任意一点，则有x2≤9.因为1000xy＝x0，所以矩阵1000使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x29＋y2＝1在矩阵1000对应的变换作用下得到的图形是线段y＝0(－3≤x≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2，3)，将该点沿平行于直线x＋2y＝0的方向投影到x轴上，求P(2，3)在此投影变换下得到的点P′的坐标.【解】设P(2，3)在此投影变换下得到的点为P′(x′，y′)，则由题意知x′＝x＋2y，y′＝0，即xy→x′y′＝x＋2y0，从而可知此投影变换对应的矩阵为1200，由120023＝80，可知点P′的坐标为(8，0).5.如图2-2-4所示，已知△ABC在变换T的作用下变成△A′B′C′，试求变换T对应的矩阵M.【导学号：30650020】图2-2-4【解】从△ABC到△A′B′C′对应的是x轴方向上的切变变换，因为A、B在x轴上，原地不变，注意到C(－1，1)→C′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为1201.6.如图2-2-5所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A′B′C′D′，试求变换T对应的矩阵M.图2-2-5【解】从图可以看出，T是一个切变变换，且T：xy→x′y′＝xy＋12x.故T对应的变换矩阵为M＝10121.我们可以进行如下验证：1012120＝21，1012121＝22，10121－21＝－20，10121－20＝－2－1.所以矩形ABCD在矩阵10121的作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上的矩阵表示.【解】不妨设P(x，y)是平面上的任意一点，则它关于直线y＝x对称的点P′的坐标为P′(y，x)，PP′的连线一定垂直于直线y＝x，且交点为Qx＋y2，x＋y2，如图所示.根据题意，该变换即为xy→x′y′＝x＋y2x＋y2＝12121212xy.因此，将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上的变换的矩阵表示为12121212.能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x＝y2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程.(2)求圆x2＋y2＝1绕原点逆时针旋转π8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】(1)旋转变换矩阵为：cos90°－sin90°sin90°cos90°＝0－110，设x＝y2上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x′0，y′0)，则x′0y′0＝0－110x0y0＝－y0x0，所以x′0＝－y0y′0＝x0，故y′0＝(－x′0)2，即旋转所成的曲线方程为y＝x2.(2)设x2＋y2＝1上的动点P(x，y)经过变换后得新曲线上的点为P′(x′，y′).则有x′y′＝cosπ8－sinπ8sinπ8cosπ8xy＝xcosπ8－ysinπ8xsinπ8＋ycosπ8，故x′＝xcosπ8－ysinπ8，y′＝xsinπ8＋ycosπ8.从而x＝x′cosπ8＋y′sinπ8，y＝－x′sinπ8＋y′cosπ8.代入x2＋y2＝1得(x′cosπ8＋y′sinπ8)2＋(－x′sinπ8＋y′cosπ8)2＝1，即x′2＋y′2＝1.故所求曲线方程为x2＋y2＝1.
