-1-/12微专题33向量的模长问题——代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0aaaa可得：22aa，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若,axy，则22axy。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题二、典型例题例1：在ABC中，O为BC中点，若1,3,60ABACA，则OA_____思路：题目条件有1,3,60ABACA，进而ABAC可求，且OA可用,ABAC表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：O为BC中点可得：12AOABAC2222211224AOAOABACABABACAC3cos2ABACABACA代入可求出：213=4AO132AO答案：132例2：若,,abc均为单位向量，且0,0abacbc，则abc的最大值为（）A.21B.1C.2D.2OBCA-2-/12思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将abc平方，转化为数量积问题，再求最值。解：200acbcabbcacc①0,1abc①转化为101bcacbcac22222222abcabcabcabacbc1112321bcac1abc答案：B例3：平面上的向量,MAMB满足24MAMB，且0MAMB，若1233MCMAMB，则MC的最小值为___________思路：发现所给条件均与,MAMB相关，且MC可以用,MAMB表示，所以考虑MC进行模长平方，然后转化为,MAMB的运算。从而求出最小值解：222212144339MCMAMBMAMAMBMB0MAMB24MAMB，代入可得：2221116316374449981691616MCMBMBMBmin74MC答案：74例4：已知平面向量,满足23，且与2的夹角为150，则32ttR的最小值是（）-3-/12A.34B.33C.32D.3思路：题目所给条件围绕着与2，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：3112222tt，从而模长平方变成数量积问题，可得：2223131322224ttt，将12t视为一个整体，则可配方求出最小值解：3112222tt223112222tt2211112222222tt21312cos150242tt2213132224tt21333241616t3324t答案：A小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是,例5：已知平面向量,OAOB的夹角2,33，且3OAOB，若1233OPOAOB，则OP的取值范围是__________-4-/12思路：由3OAOB和夹角范围即可得到OAOB的范围，从而可想到将OP模长平方，再利用1233OPOAOB转变为关于,OAOB的问题，从而得到关于夹角的函数，求得范围。解：22221214433999OPOAOBOAOAOBOB54cos2,3311cos,2223,7OP3,7OP答案：3,7例6：已知2,6,2ababa，R，则ab的最小值是（）A.4B.23C.2D.3思路：由条件可得2226abaaba，所以考虑将ab模长平方，从而转化为数量积问题，代入,,abab的值可得到关于的二次函数，进而求出最小值解：222abaaba226aba222222236124ababaabb222361246133abmin3ab答案：D例7：已知直角梯形ABCD中，AD∥,90,2,1BCADCADBC，P为腰CD上的动点，则23PAPB的最小值为__________思路：所求23PAPB难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点B的纵坐标与梯形的高相关，可设高为h，0,Py，-5-/122,0,1,ABh，则2,,1,PAyPBhy，所以237,35PAPBhy，22237357PAPBhy，即min237PAPB答案：7例8：如图，在边长为1的正三角形ABC中，,EF分别是边,ABAC上的动点，且满足,AEmABAFnAC，其中,0,1,1mnmn，,MN分别是,EFBC的中点，则MN的最小值为（）A.24B.33C.34D.53思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将MN进行表示，从而模长平方后2MN可写成关于,mn的表达式，再利用1mn即可消元。解：11122MNMEEBBNFEmABBC111111122222AEAFmABBCmABnACmABACAB11111222mABnACnABmAC22221144MNnABmACnmmn1mn222221111331114442416MNmmmmmmm34MN答案：C例9：已知OA与OB的夹角为，=2OA，=1OB，且OPtOA，1OQtOB（）,PQ在0t时取到最小值。当0105t时，的取值范围是（）A.0,3B.,32C.2,23D.20,3NMABCEF-6-/12思路：本题含两个变量0,t，且已知0t范围求的范围，所以考虑建立和0t的关系式，1PQOQOPtOBtOA，从而考虑模长平方，向,OAOB靠拢，可得：222154cos24cos1PQtOBtOAtt，所以当2...
