1/157.4.2超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CkMCnkN－MCnN，k＝m，m＋1，m＋2，⋯，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝nMN.1．超几何分布是不放回抽样．(√)2．超几何分布的总体是只有两类物品．(√)3．超几何分布与二项分布的均值相同．(√)4．超几何分布与二项分布没有任何联系．(×)一、超几何分布的辨析例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求2/15X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．解(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有()A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X答案ABD解析依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．二、超几何分布的概率例23/15某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为X123P153515反思感悟求超几何分布的分布列的步骤4/15跟踪训练2现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．解(1)设甲班的学生人数为M，则C2MC27＝MM－142＝17，即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝C13C14C27＋C23C04C27＝47＋17＝57.三、超几何分布与二项分布间的关系例3某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，⋯，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；...
