1《高等几何》学习指导2第一章仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示.二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念：①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；②、平面到平面/的透视仿射对应.2）、判断：对应点连线互相平行.33）、性质：①、保持同素性；②、保持结合性；③、保持平行性；④、保持共线三点单比不变.3、仿射对应与仿射变换概念：透视仿射链.4、仿射坐标1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示：设31311233232(,),(1,2,3),()iiixxyyPxyiPPPxxyy则；3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223xaxayayaxaya，111221220aaaa；5、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性.2）、仿射不变量：共线三点的单比；两条平行线段之比；两个三角形面积之比；两个封闭图形面积之比.3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形.四、例题4例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3(,1)2,求单比（ABC）.解：设A、B、C的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy由3132322()1352xxABCxx.例2、平面上是否存在仿射变换，使点A（1，2），B（-2，-4），C（3，6）分别变为点A/（-1，-1），B/（2，2），C/（0，0）？解：由于A，B，C三点共线，A/，B/，C/也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，由于：//////////312011(),(),()()325022ACACABCABCABCABCBCBC因此这样的仿射变换不存在.例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.解：设所求仿射变换为：/111213/212223xaxayayaxaya111221220aaaa，将（0，0）对应（2，3），（1，1）对应（2，5），（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：51323111213212223111223212223232537aaaaaaaaaaaaaa，解此方程组，得132311122122112,3,,,4,622aaaaaa故所求仿射变换为：//11222463xxyyxy，且1102246.例4、求一仿射变换，它使直线210xy210xy上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.解：在直线210xy上任取两点（1，0），（-1，1），由于（1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式/111213/212223xaxayayaxaya，解得：//22133222xxyyxy，220322，即为所求的仿射变换.例5、求椭圆的面积.解法1（见教材第15页）解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222xyr即22221xyrr，6令仿射变换T：//xxaryybr，即//axxrbyyr，其中2000aabrbrr，其对应图形为椭圆：/2/2221xyab故T是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S，椭圆的面积为S/由定理4.3//22SabSSrabSr所以椭圆的面积为abл.例6、求将点O（0，0），A（1，0），B（0，1）分别变为O/（1，1），A/（3，1），B/（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.解：①、设所求仿射变换为：/111213/212223xaxayayaxaya111221220aaaa将O（0，0）对应O/（1，1），A（1，0）对应A/（3，1），B（0，1）对应B/（3，2）分别代人上式解得//2211xxyyy且22001为所求仿射变换.②、////1,1,42OABOABSSSQ圆，设圆的仿射对应图形面积为/S，7则//////1,42812OABOABSSSSS圆.五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C33(,)22,求单比（ABC）.2、经过点A（-3，2）和B（6，1）的直线AB与直线x+3y-6=0相交于P，求(ABP).3、求仿射变换4y2x4y1yx7x的不变点.4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形.5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不...
